地球 46 億歲，是怎麼知道的？
― 找出答案的科學家，一開始得先對抗實驗室裡的「鉛汙染」
沒有任何紀錄寫著地球的生日。但我們還是知道它的年齡，因為石頭裡藏著一個「不會停的時鐘」。只是，要讀懂這個時鐘比想像中困難，從開始到得出答案，足足繞了將近 100 年的遠路。
理化課本寫著「地球約在 46 億年前誕生」。你或許隱約記得，但書上並沒有說是誰、又是怎麼測出來的。
人的年齡有出生證明，樹木可以數年輪。但地球兩者都沒有。
而且地球表面的岩石，因為火山和地殼運動，已經被重新製造過很多次。剛誕生時的石頭，幾乎沒有留在地表上。
能知道，只靠兩個理由
鈾這種元素，會花很長的時間慢慢變成鉛。變化的速度，幾乎不受溫度或壓力影響。只要測出鈾和鉛的比例，就能知道經過了多少時間。
隕石是和地球差不多同一時期，在太陽周圍凝聚成的碎塊。和地球的岩石不同，它沒有被重新製造過，保存了下來。測量它的鉛，就能回溯到地球誕生的時期。
不過，要湊齊這兩個條件，路途並不平坦。我們依序來看。
最初的答案是「幾千萬年」
19 世紀，英國物理學家克耳文爵士把地球看成「逐漸冷卻的熱球」。一顆熔融的球體，要花多少年才會冷卻到現在的溫度？他由此算出，地球的年齡介於 2000 萬年到 4 億年之間。晚年他還把數字再縮小，改為幾千萬年。
可是地質學家和研究演化的達爾文都傷腦筋了。因為不論是地層堆積，還是生物演變，看起來都需要更長的時間。物理學的計算和地層的證據互相矛盾。
解開矛盾的，是 1896 年發現的放射性。岩石中的鈾等元素，一直在持續發熱。「地球只是不斷冷卻的球」這個前提，從根本上就被推翻了。而且放射性不只會發熱，還自帶一個「時鐘」。
鈾時鐘是怎麼計時的？
鈾 238 這種鈾，大約經過 44.7 億年，會有一半變成鉛 206。這段「減半所需的時間」就叫半衰期。再經過同樣長的時間，剩下的一半又會再變掉，最後只剩下最初的 4 分之 1。
請看圖 1。左邊的實線是剩下的鈾所占的比例。用下方的滑桿讓時間前進，右邊柱子裡上方的鉛會增加，下方的鈾會減少。如果石頭凝固時沒有鉛，就能從鉛和鈾的比例，反推出凝固後經過的時間。
其實鈾還有另一種，叫鈾 235。它大約 7 億年就會減半，是個「走得比較快的時鐘」，會變成鉛 207。在同一顆石頭裡對照這兩個速度不同的時鐘，就能互相驗證答案。
阻礙答案的，是無所不在的鉛
1940 年代末，美國年輕研究者克萊爾．派特森想把這個時鐘用在隕石上。可是每次測量，鉛的數值都亂七八糟。因為鉛早在樣本之外，就充斥在我們身邊。
灰塵、玻璃器具、水、空氣，甚至是自己的頭髮。當時汽油裡也摻了鉛，連空氣中都飄著鉛。派特森把房間徹底清洗，用酸擦亮器具。這樣還不夠，他甚至蓋了一間把外面空氣過濾後再送進來、灰塵很少的實驗室。
據說在 1953 年，他終於準確測出落在美國亞利桑那州的鐵隕石中的鉛。1956 年發表的地球年齡約為 45.5 億年。如圖 2 所示，這比克耳文的答案大了 100 倍以上。這個數值後來的測量也幾乎沒有改變。
與實驗室鉛汙染奮戰的派特森，後來開始調查「這些鉛是從哪裡來的」。據說他測量了海水和南極的冰，指出空氣中的鉛大多來自汽油中添加的鉛。這項研究促成了各國逐步淘汰含鉛汽油。測量地球年齡的研究，讓我們呼吸的空氣變乾淨了。
總結
地球的年齡，是把石頭裡鈾變成鉛的速度當作時鐘，再套用到沒有被重新製造過的隕石上，才算出來的。最初從冷卻速度得出的答案太短了，因為當時還不知道放射性會發熱。要得到正確答案，還需要有耐心去清除看不見的鉛汙染。
地球的生日，是從天上掉下來的石頭記住的。
要讀出來，得先把房間裡的灰塵清乾淨。
地球內部為什麼到現在還沒冷卻，請見「地球內部過了 46 億年，為什麼還沒冷卻？」；緩慢移動的大陸速度，請見「大陸一年大約移動多少？」。
- 準備約 50 枚 10 元硬幣，放進盒子裡搖一搖。搖 1 次，就當作「經過 1 次時間」。
- 把正面朝上的硬幣當作「變成鉛了」，取出來，並記錄剩下的枚數。
- 用剩下的硬幣重複操作。確認看看，第幾次會變成最初的 4 分之 1。
雖然無法預測每一枚硬幣什麼時候會變，整體卻幾乎每次都減少一半。原子時鐘之所以準確，是因為聚集了數量龐大的原子。
想知道更多的人 ― 名詞、公式、與課本的連結明確標示內容屬於國中理化到大學專業課程的哪個程度
- 國中國中理化會學到的範圍
- 高中高中「物理」「地球科學」會學到的範圍
- 高中＋高中的進階內容，或課本專欄的內容
- 大學高中不會學到的大學專業課程（地球化學、同位素地質學）內容
- 研究連大學也不當作「定論」來教，目前研究者仍在探討的課題
國中名詞：這個現象有名字
- 放射性衰變：不穩定的原子核一邊放出輻射，一邊變成另一種原子核。
- 半衰期：原來的原子數目減少到一半所需的時間。鈾 238 約為 44.7 億年。
- 放射性定年：從衰變生成的原子和剩下的原子的比例，求出岩石等形成後經過的時間的方法。
國中高中用公式確認：地球的年齡這麼長，鈾還剩多少？
假設地球的年齡是 45.5 億年，來計算鈾的兩個時鐘各走了多遠。
| 用符號寫 | N ＝ N0 × (1/2)^(t / T) 、 D / N ＝ 2^(t / T) − 1 |
| 用文字寫 | 剩下的數目 ＝ 最初的數目 × 把 2 分之 1 連乘「經過時間 ÷ 半衰期」次的結果。與生成的鉛的比，是把 2 連乘同樣次數再減 1 |
| 公式的由來 | 每個原子都以固定的機率衰變，所以減少的數目總是和剩下的數目成正比（指數衰減）。衰變的原子全都變成鉛，所以原子總數守恆 |
| 符號 | 意義與單位 |
| N | 現在剩下的鈾原子數 |
| N0 | 石頭凝固時的鈾原子數 |
| D | 衰變生成的鉛原子數 |
| t | 經過的時間（億年） |
| T | 半衰期（億年） |
| 地球的年齡（由隕石的鉛得出的數值） | 約 45.5 億年 |
| 鈾 238 的半衰期 | 約 44.7 億年 |
| 鈾 235 的半衰期 | 約 7.04 億年 |
| 克耳文晚年的估計（上限） | 約 0.4 億年 |
| 鈾 238 經過的半衰期次數 | 45.5 ÷ 44.7 ≒ 1.02 |
| 把 2 分之 1 連乘 1.02 次的值（剩下的比例） | 約 0.494 |
| 每剩 1 個原子對應的最初數目 | 1 ÷ 0.494 ≒ 2.02 |
| 每剩 1 個原子所生成的鉛（D / N） | 2.02 − 1 ＝ 1.02 |
| 鈾 235 經過的半衰期次數 | 45.5 ÷ 7.04 ≒ 6.46 |
| 把 2 分之 1 連乘 6.46 次的值（剩下的比例） | 約 0.011 |
| 與克耳文估計值的比 | 45.5 ÷ 0.4 ≒ 114 |
地球誕生時的鈾 238，現在剛好有一半左右變成了鉛。走得較快的鈾 235 時鐘，只剩下約 1%。反過來，從測得的比例解出 t，就能得到年齡。兩個時鐘指向同樣的年齡，正是答案可靠的依據。
高中高中＋為什麼只靠「鉛與鉛的比」就能算出年齡
高中高中物理會學到原子核的衰變與半衰期。剩下的比例之所以是「2 分之 1 的幾次方」，是因為單一原子衰變的機率不隨時間改變。
高中＋實際的石頭裡，一開始就含有少量的鉛。因此派特森注意的是鉛 207 與鉛 206 的比。從兩個時鐘走得快慢的差別，不必直接測量鈾的量，就能決定年齡。最初含有的鉛量，則是從幾乎不含鈾的隕石硫化鐵中估計出來的。
大學鉛－鉛等時線法
在大學的同位素地球化學裡，這個方法叫「鉛－鉛等時線法」。把鈾與鉛比例不同的多個樣本，畫在以鉛 207／鉛 204 和鉛 206／鉛 204 為座標軸的圖上。同時凝固的樣本會排成一直線，它的斜率就給出年齡。這條直線稱為等時線（isochron）。衰變的速度用衰變常數表示，它與半衰期的關係是「半衰期 ＝ 2 的自然對數 ÷ 衰變常數」。
📖 公式的推導與更進階的內容：放射性定年（維基百科） ／ 派特森的原始論文（1956 年）
研究還不太清楚的事
- 「誕生」是哪一個瞬間？ 隕石中最古老的顆粒據說約為 45.7 億年前，而地球長到現在的大小，則被認為是在那之後的幾千萬年。把哪個階段稱為誕生，數值會略有不同。
- 最初的地殼後來怎麼了？ 在澳洲發現的礦物顆粒，據說有約 44 億年的歷史。當時是否已經有海洋，仍在爭論中。
- 半衰期本身的精確度。 鈾的半衰期已被精密測量，但微小的誤差就會變成年代的誤差。重新測量至今仍在進行。
也就是說，這篇文章的內容也只是「就目前所知範圍內的說明」。數值已經穩定在「約 46 億年」，但最後幾千萬年的細節，至今仍在更新。
與課本的連結（依程度）
| 程度 | 科目・單元 | 本文哪個部分 |
|---|---|---|
| 國中 | 理化「輻射的性質」 | 鈾變成鉛的故事 |
| 高中 | 物理「原子核」・地球科學「地球的歷史」 | 半衰期公式與圖 1 |
| 高中＋ | 地球科學進階「放射性年代」 | 對照兩個時鐘 |
| 大學 | 同位素地球化學 | 鉛－鉛等時線法 |
| 研究 | 行星形成理論 | 誕生瞬間的定義 |
| ― | 與生活的連結 | 汽油裡的鉛為什麼消失了 |
- C. Patterson, "Age of meteorites and the earth", Geochimica et Cosmochimica Acta 10 (1956)
- 維基百科「地球的年齡」（ウィキペディア「地球の年齢」）
- G. Brent Dalrymple『The Age of the Earth』Stanford University Press（1991）
- Arthur Holmes『The Age of the Earth』Harper & Brothers（1913）
- 國立天文台（国立天文台）編『理科年表』（理科年表）丸善出版
※本文是為一般讀者寫的科學解說。文中數值僅供理解原理的參考與概算。年代的數值依文獻不同，會有些微差異。