Pourquoi une vague qui garde sa forme ne s'effondre-t-elle jamais ?
― Un ingénieur a poursuivi une vague à cheval, le long d'un canal
Une vague ordinaire finit toujours par s'étaler, ou par déferler vers l'avant. Pourtant, il arrive qu'une seule bosse d'eau avance sur des kilomètres sans changer ni de forme ni de vitesse. En 1834, un ingénieur l'a poursuivie à cheval. Il a fallu 130 ans pour comprendre la vraie nature de cette vague « impossible ».
En août 1834, dans un canal près d'Édimbourg, en Écosse. Deux chevaux tiraient depuis la rive un long bateau étroit. Le jeune ingénieur naval John Scott Russell observait la scène pour étudier la forme du bateau et sa résistance dans l'eau.
Quand le bateau s'arrêta brusquement, l'eau qui s'accumulait devant la proue fut projetée vers l'avant en une seule masse ronde. Cette bosse laissa le bateau sur place et continua tout droit le long du canal.
Russell sauta à cheval pour la poursuivre. La bosse avançait à environ 13-14 km/h ; il écrira l'avoir suivie sur 1,5 à 3 km, avant de la perdre dans un coude du canal. Pendant tout ce temps, la forme de la bosse n'aurait presque pas changé.
Pourquoi cette vague garde-t-elle sa forme ? Seulement deux raisons
Dans une eau peu profonde, une vague va plus vite là où l'eau est plus profonde. Le sommet de la bosse revient à avoir une eau plus profonde qu'au pied de la bosse. Le sommet tend donc à rattraper l'avant, qui devient de plus en plus abrupt. Sans rien d'autre, cela ferait déferler la vague vers l'avant, comme sur une plage.
À l'inverse, une bosse étroite, si rien ne la retient, s'étale latéralement et s'abaisse. Cela vient du fait que les vagues courtes ont des vitesses plus dispersées. Cet effet tend, lui, à aplanir la bosse.
« L'avant qui se dresse » et « la bosse qui s'étale » : deux tendances opposées. Quand elles s'équilibrent exactement, la bosse continue d'avancer sans déferler ni s'étaler. Ce que Russell a observé, c'est une vague où cet équilibre s'est produit par hasard.
Plus la bosse est haute, plus elle est rapide, et plus elle est étroite
Russell ne pouvait oublier cette vague. On rapporte qu'il construisit dans son jardin un bassin de 9 m de long pour la reproduire à de nombreuses reprises. Ses expériences lui permirent d'établir que la vitesse de la bosse dépend de « la profondeur d'eau plus la hauteur de la bosse ». Plus la bosse est haute, plus elle va vite.
Regardez la figure 1. La profondeur d'eau est fixée à 1,2 m, et vous pouvez faire varier la hauteur de la bosse avec le curseur. En l'augmentant, la vitesse augmente et, en même temps, la largeur de la bosse se réduit. La hauteur, la largeur et la vitesse ne sont pas indépendantes : « pour une onde solitaire de telle hauteur, telles sont la largeur et la vitesse qui vont avec », d'un seul tenant.
130 ans pour confirmer sa vraie nature
En 1844, Russell publia un rapport sur cette vague, qu'il baptisa « grande onde de translation ». Mais les plus grands savants de l'époque ne l'acceptèrent pas tout de suite : on considérait comme une évidence qu'une vague change de forme en avançant.
Le tournant eut lieu en 1895. Les Néerlandais Korteweg et de Vries établirent une équation décrivant les vagues en eau peu profonde. Cette équation contenait bel et bien une solution correspondant à une bosse avançant sans changer de forme. L'observation de Russell était donc aussi juste sur le plan théorique. Mais Russell était mort treize ans plus tôt.
Soixante-dix ans plus tard encore, en 1965, les Américains Zabusky et Kruskal résolurent cette équation par calcul numérique. Ils découvrirent que, même après la collision de deux bosses, chacune reprenait sa forme d'origine une fois le passage terminé. Se comportant comme des particules, ces objets furent baptisés « solitons ».
La figure 2 résume l'essentiel de cet article. Avec seulement la tendance de gauche, la vague déferle ; avec seulement celle du centre, la vague s'aplatit et disparaît. Ce n'est que pour une combinaison précise de hauteur et de largeur que les deux s'annulent, comme à droite. Dans la figure 1, changer la hauteur changeait aussi la largeur : c'est justement pour préserver cet équilibre.
Dans le nord de l'Australie, chaque année vers septembre-octobre, un nuage tubulaire pouvant atteindre plusieurs centaines de kilomètres de long avance en file dans le ciel du matin. Ce nuage, appelé « Morning Glory », serait la manifestation visible d'une onde solitaire se propageant dans l'air. Sous la mer aussi, on observe d'immenses ondes solitaires se propager à la frontière entre couches d'eau de densités différentes. Depuis l'espace, leurs traces apparaissent parfois à la surface de l'océan.
Un signal lumineux aussi s'étale et se brouille en se propageant dans une fibre fine. En 1973, le Japonais Akira Hasegawa et ses collègues démontrèrent théoriquement que l'on pouvait aussi créer des solitons avec de la lumière. L'idée est la même que pour la bosse d'eau du canal : faire s'équilibrer une « tendance à s'étaler » et une « tendance à se resserrer ».
En résumé
Une vague ordinaire finit par déferler vers l'avant, ou par s'étaler et disparaître. En eau peu profonde, ces deux tendances agissent en sens opposé. Quand la hauteur et la largeur se combinent juste comme il faut, les deux s'annulent, et une bosse unique continue d'avancer en gardant sa forme. L'observation de Russell, qui poursuivit une vague de canal à cheval, est devenue, 130 ans plus tard, le point de départ d'une nouvelle branche de la physique.
Une vague qui ne déferle pas n'est pas forte.
C'est simplement que la force qui la fait déferler et celle qui la fait s'étaler se neutralisent exactement.
Le versant « la vague déferle vers l'avant » est traité dans Jusqu'où une vague de mer peut-elle grandir ?, et le fait que la vitesse d'une vague dépend de la profondeur de l'eau est détaillé dans Pourquoi les vagues de mer déferlent-elles toujours presque parallèlement au rivage ?.
- Remplissez un récipient long et étroit (bac à vêtements, ou le côté long de la baignoire) d'une couche d'eau de 3 à 5 cm environ.
- Placez une planchette ou un sous-main à une extrémité, poussez-la rapidement une seule fois vers l'avant, puis arrêtez. Vous verrez une seule bosse se former et avancer vers l'autre extrémité.
- Poussez ensuite plus fort pour créer une bosse plus haute. En comparant le temps mis pour atteindre le mur opposé, la bosse haute devrait arriver un peu plus vite.
Avec une couche d'eau plus profonde, la bosse va plus vite et la différence devient moins visible. Plus l'eau est peu profonde, plus l'observation est facile. Pour éviter de mouiller le sol, essayez plutôt dans la salle de bain.
Pour aller plus loin ― termes, formules, et liens avec les programmes scolairesDu collège aux matières spécialisées universitaires, le niveau de chaque partie est indiqué
- CollègeNiveau du programme de sciences au collège
- LycéeNiveau du programme de physique au lycée
- Lycée+Contenu d'approfondissement du lycée, ou encadré de manuel
- UniversitéContenu non enseigné au lycée, relevant de matières universitaires spécialisées (mécanique des fluides, physique non linéaire)
- RechercheContenu qui n'est même pas enseigné comme « établi » à l'université : un sujet encore à l'étude par les chercheurs
CollègeTerminologie : ce phénomène a un nom
- Onde solitaire : une vague qui avance sous forme d'une seule bosse, sans vagues qui l'accompagnent devant ou derrière.
- Soliton : onde solitaire qui garde sa forme en avançant, et qui la retrouve même après avoir croisé un autre soliton. Le terme a été créé en 1965.
- Onde en eau peu profonde : vague dont la longueur d'onde est grande par rapport à la profondeur d'eau. Sa vitesse ne dépend que de la profondeur : plus l'eau est profonde, plus elle va vite.
CollègeLycéeVérification par le calcul : à quelle vitesse allait la vague de Russell ?
Utilisons la formule de vitesse de l'onde solitaire que Russell a trouvée grâce à ses expériences en bassin. La profondeur exacte du canal n'étant pas connue, nous supposerons ici une profondeur de 1,2 m, et utiliserons la hauteur de bosse rapportée (environ 0,4 m), pour vérifier si cela correspond à la vitesse suivie à cheval.
| En symboles | c = √( g × ( h + a ) ) |
| En mots | Vitesse de l'onde solitaire = racine carrée de (accélération de la gravité × (profondeur d'eau + hauteur de la bosse)) |
| Origine de la formule | Formule empirique trouvée par Russell lors de ses expériences en bassin. Elle reprend la vitesse d'une onde en eau peu profonde √( g × h ), en remplaçant la « profondeur d'eau » par la « profondeur jusqu'au sommet de la bosse ». Elle a ensuite été retrouvée à partir de l'équation KdV, comme approximation pour les bosses peu élevées. |
| Symbole | Signification et unité |
| c | Vitesse d'avancement de l'onde solitaire (m/s) |
| g | Accélération de la gravité (m/s²) |
| h | Profondeur d'eau sans la bosse (m) |
| a | Hauteur de la bosse mesurée depuis le niveau d'eau initial (m) |
| Accélération de la gravité g | 9,8 m/s² |
| Profondeur d'eau h (hypothèse) | 1,2 m |
| Hauteur de la bosse a | environ 0,4 m (rapportée entre 30 et 45 cm) |
| Vitesse suivie par Russell | environ 13-14 km/h |
| Profondeur jusqu'au sommet de la bosse | 1,2 + 0,4 = 1,6 m |
| Multiplication par l'accélération de la gravité | 9,8 × 1,6 = 15,68 |
| Sa racine carrée donne la vitesse de l'onde solitaire | la racine carrée de 15,68 est environ 3,96 m/s |
| Conversion en km/h | 3,96 × 3,6 ≈ 14,3 km/h |
| Comparaison : une vague très basse | 9,8 × 1,2 = 11,76 |
| Sa racine carrée | la racine carrée de 11,76 est environ 3,43 m/s |
| Augmentation de vitesse liée à la hauteur | 3,96 ÷ 3,43 ≈ 1,15 |
La vitesse de l'onde solitaire ressort à environ 14,3 km/h, ce qui correspond bien aux 13-14 km/h suivis à cheval par Russell. Dans le même canal, une bosse de 0,4 m de haut avance environ 15 % plus vite qu'une vague très basse. Cette propriété « plus haut = plus vite » est à l'origine de la tendance ① de la figure 2, celle où l'avant se dresse.
LycéeLycée+Qu'est-ce qui détermine la vitesse d'une vague ?
LycéeAu lycée, on apprend que vitesse de la vague = fréquence × longueur d'onde. Pour une vague ordinaire, on considère que la hauteur de la bosse (l'amplitude) n'a pas d'effet sur la vitesse. L'onde solitaire est un cas un peu particulier, où cette hypothèse ne tient plus.
Lycée+La propriété selon laquelle la vitesse change avec l'amplitude s'appelle la « non-linéarité » ; celle où elle change avec la longueur d'onde s'appelle la « dispersion ». La non-linéarité tend à dresser la bosse, la dispersion tend à l'étaler. L'onde solitaire est une vague où ces deux effets s'équilibrent. C'est pourquoi il existe une relation entre la hauteur a et la largeur caractéristique L : L = √( 4h³ ÷ 3a ). C'est aussi cette relation qui dessine la largeur dans le curseur de la figure 1.
UniversitéL'équation KdV et la méthode de diffusion inverse
Les ondes non linéaires faibles en eau peu profonde se décrivent par l'équation KdV (équation de Korteweg-de Vries). C'est une équation aux dérivées partielles comportant un terme non linéaire et un terme de dispersion ; la solution en onde solitaire s'exprime à l'aide de fonctions hyperboliques, sous une forme en sech². En 1967, Gardner et ses collègues découvrirent la méthode de diffusion inverse, permettant de résoudre exactement cette équation, ce qui donna une forte impulsion au domaine des systèmes intégrables. Les solitons optiques dans les fibres sont décrits par l'équation de Schrödinger non linéaire.
📖 Pour la dérivation des formules et pour aller plus loin : Wikipédia « Équation KdV » (japonais) ／ Wikipédia « Soliton » (japonais)
RechercheCe qu'on ne sait pas encore bien
- Le rôle des gigantesques ondes solitaires sous-marines. Les ondes solitaires qui se propagent à la frontière entre couches d'eau mélangeraient eau profonde et eau de surface, transportant des nutriments. L'ampleur de leur effet sur le brassage global de l'océan est encore en cours d'évaluation.
- Comment naît le Morning Glory ? L'hypothèse la plus répandue est une collision entre vents marins. Mais bien que ce phénomène se répète chaque année au même endroit, les conditions qui déterminent les jours où il apparaît ou non ne sont pas encore totalement comprises.
- Solitons et vagues géantes soudaines. Certaines recherches tentent d'expliquer une partie des vagues anormalement hautes qui apparaissent soudainement en haute mer par des regroupements d'ondes non linéaires. Dans quelle mesure cela s'applique réellement à l'océan reste débattu.
Le contenu de cet article reste donc « une explication dans l'état actuel des connaissances ». La question née d'une seule vague de canal continue aujourd'hui de se poser, dans la mer, dans le ciel et dans la lumière.
Liens avec les programmes scolaires (par niveau)
| Niveau | Matière / unité | Partie correspondante de l'article |
|---|---|---|
| Collège | Sciences・propagation du son et des ondes | L'observation d'une bosse qui avance sans changer de forme |
| Lycée | Physique・propriétés des ondes, calcul de racines carrées | Le calcul de vitesse dans « Vérification par le calcul » |
| Lycée+ | Physique・approfondissement (dispersion et non-linéarité) | Les tendances à se dresser et à s'étaler de la figure 2 |
| Université | Mécanique des fluides・physique non linéaire | L'équation KdV, la méthode de diffusion inverse |
| Recherche | Physique océanique・météorologie | Les ondes solitaires sous-marines, le Morning Glory |
| ― | Liens avec la vie quotidienne | Les télécommunications par fibre optique, observer les vagues de marée remontant une rivière |
- J. S. Russell, Report on Waves, Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science (1844)
- D. J. Korteweg & G. de Vries, On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves, Philosophical Magazine (1895)
- N. J. Zabusky & M. D. Kruskal, Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States, Physical Review Letters (1965)
- Wikipédia « Soliton » (japonais)
- Mikio Wadati, 非線形波動 (Ondes non linéaires), éditions Iwanami Shoten (岩波書店)
※Cet article est une vulgarisation scientifique destinée au grand public. Les valeurs indiquées sont des ordres de grandeur destinés à faciliter la compréhension du phénomène. Les chiffres de l'observation de Russell sont des valeurs approximatives tirées de ses propres notes, et la profondeur du canal est une hypothèse.