形狀不變、能一路前進的波，為什麼不會崩潰？
― 在運河邊，有位技師騎馬追著一道波浪
一般的波，前進時不是逐漸攤平，就是前緣變陡而崩潰。但有時候，單單一座水丘，能在形狀和速度都不變的情況下，前進好幾公里。1834年，有位技師騎馬追上了這座波，而這個「不可能的波」的真面目，花了130年才解開。
1834年8月，蘇格蘭愛丁堡附近的一條運河。兩匹馬從岸邊拉著一艘細長的船前進。年輕的造船技師約翰．史考特．羅素，正為了研究船形與水的阻力而觀察這一幕。
當船突然停下時，原本被船首推出去的水，聚成一團圓丘狀，向前竄出。水丘拋下了船，沿著運河一路直直前進。
羅素跳上馬追了上去。水丘以時速約13〜14公里前進，追了1.5〜3公里左右後，據記錄，在運河的彎道處失去了蹤影。在這段期間，水丘的形狀幾乎沒有改變。
這道波為什麼能保持形狀？理由只有兩個
淺水波的特性是，水愈深的地方波走得愈快。水丘的頂部，相當於比丘底的水更深。所以頂部會想追上前面，使水丘的前側愈來愈陡。放著不管的話，就會像海灘上的波浪一樣往前崩潰。
另一方面，寬度窄的水丘，放著不管的話，會橫向擴散而變低。這是因為愈細小的波，前進速度的差異愈大。這個效應則會使水丘趨於平緩。
「前側變陡」與「橫向擴散」。這兩種相反的傾向，剛好互相抵消時，水丘就能既不崩潰也不擴散地持續前進。羅素看到的，正是這種平衡恰巧成立的波。
愈高的水丘，速度愈快，形狀也愈窄
羅素忘不了自己看到的這道波，據說還在自家庭院裡建了一座長約9公尺的水槽，反覆重現這座水丘。他透過實驗發現，水丘前進的速度是由「水深＋水丘高度」決定的。水丘愈高，前進得愈快。
請看圖1。水深固定在1.2公尺，水丘高度可以用旋鈕調整。調高之後，速度會上升，同時水丘的寬度會變窄。高度、寬度、速度並非各自獨立決定，而是「這個高度的孤立波，對應的寬度和速度就是這樣」成套決定的。
花了130年才確認的「真面目」
1844年，羅素把這道波命名為「平移大波」並發表報告。然而，當時的一流學者並未立即接受，因為「波前進時形狀會改變」是當時的常識。
轉機出現在1895年。荷蘭的柯特維格與德弗里斯建立了描述淺水波的方程式。這個方程式裡，確實包含了形狀不變、持續前進的水丘解。羅素的觀察，在理論上也是正確的。只不過，羅素在那之前13年就已經過世了。
再過70年後的1965年，美國的扎布斯基與克魯斯卡爾用電腦解出了這個方程式。結果發現，兩座水丘即使碰撞，穿過彼此後仍會維持原本的形狀繼續前進。因為表現得像粒子一樣，兩人便將其命名為「孤子（soliton）」。
圖2是這篇文章的重點。只有左邊的傾向，波就會崩潰；只有中間的傾向，波就會變平而消失。只有在高度和寬度恰好搭配時，才會像右邊那樣兩者互相抵消。圖1中改變高度時寬度也跟著變，正是為了維持這種平衡。
在澳洲北部，每年9〜10月左右，長達數百公里的筒狀雲，有時會在清晨的天空中排成一列前進。這種被稱為「晨光雲」的雲，被認為是空氣中傳播的孤立波，以雲的形狀顯現出來。在海裡，巨大的孤立波也會沿著不同密度水層的交界前進。從太空觀看海面時，有時也能拍到這種痕跡。
光訊號在細細的光纖中傳播時，也會逐漸擴散而變模糊。1973年，日本的長谷川晃等人用理論證明，光也能形成孤子。這和運河裡的水丘一樣，是讓「變模糊的傾向」與「收縮的傾向」互相平衡的構想。
總結
一般的波，不是前側變陡而崩潰，就是橫向擴散而消失。在淺水中，這兩種傾向恰好方向相反。當高度和寬度搭配得宜時，兩者會互相抵消，單獨一座水丘就能維持形狀持續前進。羅素騎馬追逐運河波浪的觀察，在130年後，成了物理學一門新領域的起點。
不崩潰的波，並不是因為強大。
只是崩潰的力量，和模糊化的力量，恰好打成平手而已。
關於波向前崩潰的話題，請參見海浪，最高能有多高？；關於水深改變波速的話題，則在海浪，為什麼總是幾乎平行岸邊打上來？中有詳細說明。
- 在細長的容器（收納箱，或浴缸較長的那一側）裡，注入約3〜5公分深的淺水。
- 在一端立起一塊墊板或木板，快速地只往前推一次就停住。你會看到單獨一座隆起，向另一側前進。
- 接著用力推，做出一座高的水丘。比較到達對面牆壁所花的時間，高的水丘應該會稍微快一點抵達。
水注得愈深，水丘前進愈快，差異也愈不明顯。愈淺愈容易觀察。為了不弄濕地板，建議在浴室裡嘗試。
想知道更多 ― 用語、公式、與教科書的連結從國中理化到大學專業科目，會明確標示屬於哪個程度
- 國中國中理化會學到的範圍
- 高中高中「物理」會學到的範圍
- 高中＋高中的延伸內容，或教科書專欄層級的內容
- 大學高中不會教、屬於大學專業科目（流體力學、非線性物理學）的內容
- 研究中即使在大學也不會當作「定論」來教，是研究者目前正在探討的話題
國中用語：這個現象是有名字的
- 孤立波：前後不伴隨其他波浪、單獨一座水丘前進的波。
- 孤子（soliton）：保持形狀前進、即使與其他孤子碰撞形狀也會恢復的孤立波。1965年被命名。
- 淺水波：相對於波長而言水深較淺時的波。速度只由水深決定，愈深前進愈快。
國中高中用公式驗證：羅素看到的波，速度究竟有多快
這裡使用羅素從水槽實驗中找到的孤立波速度公式。由於運河的確切深度不明，這裡假設水深為1.2公尺，代入記錄中水丘的高度（約0.4公尺），來確認是否與騎馬追逐時的速度相符。
| 用符號表示 | c ＝ √( g × ( h ＋ a ) ) |
| 用文字表示 | 孤立波速度 ＝ 重力加速度 ×（水深 ＋ 水丘高度）的平方根 |
| 公式的由來 | 這是羅素從水槽實驗中找到的經驗公式。將淺水波速度 √( g × h ) 中的「水深」，換成「到水丘頂部的深度」。後來也從KdV方程式中，作為水丘較低時的近似解被推導出來。 |
| 符號 | 意義與單位 |
| c | 孤立波前進速度（m/秒） |
| g | 重力加速度（m/秒²） |
| h | 沒有水丘時的水深（m） |
| a | 從原本水面算起的水丘高度（m） |
| 重力加速度 g | 9.8 m/秒² |
| 水深 h（假設值） | 1.2 m |
| 水丘高度 a | 約 0.4 m（記錄為30〜45公分） |
| 羅素追上時的速度 | 據稱約為時速13〜14公里 |
| 到水丘頂部的深度 | 1.2 ＋ 0.4 ＝ 1.6 m |
| 乘上重力加速度 | 9.8 × 1.6 ＝ 15.68 |
| 其平方根即為孤立波速度 | 15.68 的平方根約為 3.96 m/秒 |
| 換算成時速 | 3.96 × 3.6 ≒ 14.3 km |
| 比較：極低的水丘 | 9.8 × 1.2 ＝ 11.76 |
| 其平方根 | 11.76 的平方根約為 3.43 m/秒 |
| 高度造成的速度增幅 | 3.96 ÷ 3.43 ≒ 1.15 |
孤立波的速度換算約為時速14公里，與羅素騎馬追逐時的時速13〜14公里相當吻合。即使在同一條水道裡，高度0.4公尺的水丘，速度也比低波快約15%。這個「愈高愈快」的特性，正是圖2中①、也就是前側變陡傾向的根本原因。
高中高中＋波速是由什麼決定的
高中高中物理學到：波速＝頻率×波長。在一般的波裡，水丘的高度（振幅）被視為與速度無關。而孤立波，正是這個前提不成立的特殊波。
高中＋速度隨振幅改變的特性稱為「非線性」，隨波長改變的特性稱為「色散」。非線性會使水丘變陡，色散則會使水丘擴散。孤立波，正是這兩者互相平衡的波。因此，高度 a 與寬度的大致指標 L 之間，存在 L ＝ √( 4h³ ÷ 3a ) 這樣的關係。圖1中的旋鈕，也是依據這個關係來繪製寬度的。
大學KdV方程式與逆散射法
淺水中微弱的非線性波，可以用KdV方程式（柯特維格－德弗里斯方程式）來表示。這是一個各含一項非線性項與色散項的偏微分方程式，孤立波解的形式是使用雙曲函數的 sech² 型。1967年，加德納等人找到了嚴格求解這個方程式的逆散射法，使「可積系統」這個領域大為擴展。光纖中的光孤子，則是用非線性薛丁格方程式來處理。
📖 公式推導與更深入的內容：維基百科「KdV方程式」 ／ 維基百科「孤子」
研究中目前尚未完全弄清楚的事
- 海中巨大孤立波的作用。 沿著水層交界前進的孤立波，被認為會混合深水與淺水、搬運養分。但它對整體海洋混合的貢獻有多大，目前仍在估算中。
- 晨光雲的形成方式。 目前較有力的說法是海風互相碰撞所形成。雖然每年都在同一地點發生，但決定出現與不出現的條件，仍未完全釐清。
- 孤子與突發巨浪。 有研究嘗試用非線性波的集合，來解釋外海突然出現的異常高浪中的一部分。這套解釋在多大程度上適用於實際海洋，目前仍在討論中。
也就是說，這篇文章的內容，也是「目前已知範圍內的說明」。從運河裡一道波浪開始的提問，至今仍在海洋、天空與光之中延續。
與教科書的連結（依程度）
| 程度 | 科目・單元 | 本文對應段落 |
|---|---|---|
| 國中 | 理化・聲音與波的傳播方式 | 水丘形狀不變地前進的觀察 |
| 高中 | 物理・波的性質、平方根計算 | 「用公式驗證」中的速度計算 |
| 高中＋ | 物理・波的延伸（色散與非線性） | 圖2中變陡與擴散的傾向 |
| 大學 | 流體力學・非線性物理學 | KdV方程式、逆散射法 |
| 研究中 | 海洋物理學・氣象學 | 海中孤立波、晨光雲 |
| ― | 與生活的連結 | 光纖通訊、溯溪而上的潮波觀賞 |
- J. S. Russell, Report on Waves, Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science（1844）
- D. J. Korteweg & G. de Vries, On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves, Philosophical Magazine（1895）
- N. J. Zabusky & M. D. Kruskal, Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States, Physical Review Letters（1965）
- 維基百科「孤子」（ソリトン）
- 和達三樹《非線形波動》岩波書店（日文書籍）
※本文為大眾科學解說文章。文中數值僅為幫助理解原理的參考估算值。羅素觀察的數值為根據其本人記錄的概略值，運河水深則為假設值。