Pourquoi le café déborde-t-il quand on marche ?
― La surface du liquide a un « rythme » propre à osciller
Votre main est à peine inclinée, et pourtant, après quelques pas, le liquide déborde du bord de la tasse. Ce n'est pas une question de maladresse. La surface du liquide a un rythme auquel elle « aime » osciller, et ce rythme est justement proche de celui de votre marche.
Vous venez de préparer un café et le transportez de la cuisine jusqu'à votre bureau. La tasse est remplie à ras bord.
Les deux ou trois premiers pas se passent bien. Mais vers le cinquième pas, la surface se met à osciller fortement d'avant en arrière. Vous avez beau marcher prudemment, des gouttes brunes débordent du bord.
Pourtant, avec la même quantité de liquide, une petite tasse à saké déborde étonnamment peu. Qu'est-ce qui change avec la taille du récipient ?
Il n'y a que deux raisons au débordement
Le liquide dans la tasse a tendance à osciller d'avant en arrière à une vitesse bien précise. Dans une tasse ordinaire, ce rythme coïncide presque avec celui du balancement de la main pendant la marche.
L'oscillation de la surface ne s'arrête pas immédiatement. Le pas suivant pousse au même moment que l'oscillation du pas précédent est encore présente, si bien que les mouvements s'additionnent.
Pensez à une balançoire : si on la pousse légèrement, mais toujours au bon moment, elle finit par s'élever de plus en plus haut. C'est exactement ce qui se produit avec le café dans la tasse.
La surface du liquide « veut » osciller à un rythme précis
Décalez légèrement la tasse sur le côté puis arrêtez votre geste. La surface va monter d'un côté, puis de l'autre, et continuer ce va-et-vient un moment. Ce va-et-vient a une vitesse propre à chaque tasse. Appelons-la le « rythme propre ».
Ce rythme dépend surtout de la largeur de la tasse. Plus elle est large, plus le liquide parcourt une longue distance à chaque aller-retour, donc plus l'oscillation est lente. Plus elle est étroite, plus l'oscillation est rapide.
Dans une tasse ordinaire (environ 7 cm de diamètre), on estime qu'elle oscille 3 à 4 fois par seconde. Or, en marchant, la main oscille d'avant en arrière environ 2 fois par seconde. De plus, ce mouvement n'est pas parfaitement régulier : il contient aussi une composante plus fine, deux fois plus rapide. Regardez le graphique de droite dans la figure 1. Le sommet du pic de la tasse ordinaire se trouve juste à côté de la bande où se concentre la composante du mouvement de marche.
Quand les rythmes coïncident, même une petite oscillation de la main fait grandir fortement l'oscillation de la surface. C'est ce qu'on appelle la « résonance ». Pour une petite tasse, le pic se décale vers la droite, ce qui l'éloigne du rythme de la marche. C'est pour cela qu'une tasse à saké déborde moins facilement.
L'oscillation met du temps à s'apaiser et s'additionne à chaque pas
L'eau est un liquide très fluide, avec très peu de freinage naturel pour ses oscillations. Une fois que la surface commence à osciller, il lui faut plusieurs va-et-vient avant de s'apaiser.
Le pas suivant arrive donc avant que l'oscillation précédente ne disparaisse. Si le rythme coïncide, la nouvelle oscillation vient s'ajouter à l'ancienne. C'est pourquoi les premiers pas se passent bien, et que le débordement survient soudainement au cinquième ou sixième pas.
Des études sur le rythme propre de la tasse et du liquide indiquent que l'accélération au début de la marche est le principal déclencheur de la plus grande oscillation. On rapporte aussi que plus on marche vite sans regarder la tasse, plus les petits tremblements de la main augmentent, favorisant le débordement.
Des expériences ont montré qu'une couche de mousse à la surface d'un liquide fait s'apaiser les oscillations bien plus vite. On pense que les bulles frottent les unes contre les autres, et contre la paroi de la tasse, ce qui absorbe l'énergie du mouvement. La mousse joue donc le rôle d'un frein.
Selon certains travaux, tenir la tasse en la saisissant par le bord avec les doigts, plutôt que par l'anse, transmet moins l'oscillation. On pense que la souplesse du poignet amortit la composante fine du mouvement de marche. Les mêmes chercheurs ont montré, avec une expérience sur la marche à reculons pour limiter le débordement, un résultat qui leur a valu le « Ig Nobel Prize », une récompense décernée à des recherches scientifiques pleines d'humour.
Alors, comment transporter son café sans en renverser ?
Une fois le mécanisme compris, les astuces pour ne pas en renverser viennent naturellement.
- Ne pas remplir jusqu'au bord. Un peu de marge laisse plus de temps avant que l'oscillation, même amplifiée, n'atteigne le bord.
- Démarrer la marche en douceur. L'accélération initiale est le principal déclencheur de l'oscillation.
- Regarder la tasse et marcher lentement. Ralentir le pas éloigne le rythme de la marche de celui de la surface.
- Utiliser un récipient étroit. Le rythme propre de la surface devient plus rapide et coïncide moins facilement avec celui de la marche.
En résumé
Si le café déborde, ce n'est pas parce que la main tremble. C'est parce que le rythme d'oscillation propre à la surface du liquide rejoint celui de la marche, et que cette oscillation, lente à s'apaiser, s'additionne à chaque pas.
Ce n'est pas la main qui renverse le café,
c'est la coïncidence entre le rythme de la surface et celui des pas.
Ce même principe — « pousser au bon moment fait grandir le mouvement » — est aussi au cœur du balancement des ponts et des immeubles sous l'effet du vent, et de la balançoire qui monte de plus en plus haut quand on la pompe. Pour en savoir plus sur les ondes qui se propagent à la surface de l'eau, lisez aussi notre article sur les ronds qui s'étendent dans un étang.
- Remplissez une tasse ordinaire d'eau aux quatre cinquièmes, et secouez-la légèrement de gauche à droite sur une table. En changeant la vitesse — lente, moyenne, rapide — vous trouverez la vitesse à laquelle la surface se met soudain à osciller fortement.
- Refaites la même expérience avec la même quantité d'eau, mais dans un verre plus étroit. La vitesse à laquelle l'oscillation devient forte devrait être plus rapide que précédemment.
- Enfin, transportez la tasse remplie d'eau en marchant lentement tout en la regardant, puis en marchant normalement en regardant devant vous. Comparez à quel pas l'oscillation devient importante dans chaque cas.
Faites cet essai avec de l'eau, dans un endroit où le sol peut être mouillé sans problème. N'essayez pas avec une boisson chaude.
Pour aller plus loin ― termes, formules et liens avec les programmes scolairesDu collège aux matières spécialisées de l'université, le niveau de chaque partie est indiqué
- CollègeContenu vu en sciences au collège
- LycéeContenu vu en physique au lycée
- Lycée +Contenu approfondi du lycée, ou encadré des manuels
- UniversitéNon vu au lycée : matière spécialisée universitaire (mécanique des fluides, dynamique vibratoire)
- RechercheNon encore établi comme « acquis » même à l'université : sujet encore étudié par les chercheurs
CollègeVocabulaire : ce phénomène a un nom
- Ballottement (sloshing) : oscillation de la surface d'un liquide dans un récipient, entraînée par le mouvement de ce récipient. C'est aussi un problème pour les camions-citernes et les grands réservoirs de stockage.
- Fréquence propre : nombre d'aller-retours par seconde d'un objet qui oscille naturellement. C'est ce qu'on a appelé « rythme propre » dans le texte. L'unité est le hertz.
- Résonance : phénomène par lequel, quand la vitesse à laquelle on secoue de l'extérieur se rapproche de la fréquence propre, l'oscillation grandit fortement même avec une petite force.
CollègeLycéeVérification par le calcul : à quelle fréquence oscille la surface d'une tasse ordinaire ?
Estimons la fréquence d'oscillation la plus simple pour une tasse ronde, quand le liquide est suffisamment profond. On considère que l'effet de la profondeur est quasiment négligeable si celle-ci est nettement supérieure au rayon.
| Symbole g : accélération de la pesanteur (en mètres par seconde carrée) | 9,8 |
| Symbole R : rayon intérieur de la tasse ordinaire (en mètres) | 0,035 |
| Coefficient du mode d'oscillation le plus simple d'un récipient rond (issu des fonctions de Bessel) | 1,84 |
| Symbole f : formule de la fréquence propre (en hertz) | f ＝ √(g × 1,84 ÷ R) ÷ (2π) |
| Multiplier l'accélération de la pesanteur par le coefficient | 9,8 × 1,84 ≒ 18,0 |
| Diviser par le rayon | 18,0 ÷ 0,035 ≒ 514 |
| Prendre la racine carrée (vitesse angulaire par seconde) | √514 ≒ 22,7 |
| Diviser par l'angle d'un tour complet | 22,7 ÷ 6,28 ≒ 3,6 |
| Comparaison : petite tasse de 2 cm de rayon | 18,0 ÷ 0,02 ＝ 900 |
| Prendre la racine carrée | √900 ＝ 30 |
| Diviser par l'angle d'un tour complet | 30 ÷ 6,28 ≒ 4,8 |
| Vitesse de marche : 120 pas par minute, ramenés à la seconde | 120 ÷ 60 ＝ 2 |
| Composante fine, deux fois plus rapide | 2 × 2 ＝ 4 |
La tasse ordinaire oscille environ 3,6 fois par seconde, la petite tasse environ 4,8 fois. Comme la composante du mouvement de marche se concentre autour de 2 et de 4 fois par seconde, les chiffres confirment que la tasse ordinaire coïncide plus facilement.
LycéeLycée +Oscillation harmonique simple et résonance forcée
LycéeLe va-et-vient de la surface s'apparente à une « oscillation harmonique simple », comme un poids suspendu à un ressort. La gravité tente de ramener la surface inclinée à l'horizontale, l'élan la fait dépasser cette position et l'incliner de l'autre côté, et le cycle recommence. Plus la force de rappel est forte (récipient étroit), plus l'aller-retour est rapide.
Lycée +Dans une « oscillation forcée » où l'on secoue périodiquement de l'extérieur, plus la fréquence de la secousse se rapproche de la fréquence propre, plus l'amplitude de l'oscillation augmente. Plus la résistance qui freine l'oscillation est faible, plus ce pic est net et élevé. L'eau ayant peu de résistance, son pic a tendance à être très marqué.
UniversitéFréquence propre du ballottement dans un récipient cylindrique
L'oscillation de la surface d'un liquide dans un récipient cylindrique est déterminée par la condition que le liquide ne traverse pas la paroi, ce qui correspond aux points où la dérivée d'une fonction de Bessel s'annule. La valeur correspondant au mode antisymétrique le plus bas est d'environ 1,84. Si l'on note H la profondeur du liquide, son effet intervient sous forme d'un facteur en tangente hyperbolique, qui tend vers 1 dès que H est de l'ordre du rayon ou plus. Par ailleurs, le mouvement de la main pendant la marche contient la fréquence de la marche, ses multiples entiers, ainsi qu'une composante irrégulière ; l'oscillation réelle est donc traitée comme une oscillation forcée de nature stochastique.
RechercheCe qui n'est pas encore clairement établi
- Comment prendre en compte les différences individuelles de démarche. La vitesse de marche et le balancement des bras varient selon les personnes, et la composante du mouvement de la main qui fait grandir l'oscillation dépend des conditions.
- Prédire la force d'amortissement de la mousse. L'efficacité dépendrait de la taille des bulles et de l'épaisseur de la couche de mousse, mais aucune méthode fiable de prédiction, boisson par boisson, n'est encore établie.
- Effet des différentes façons de tenir la tasse. Des travaux rapportent que saisir la tasse par le haut ou marcher à reculons réduit le débordement, mais les effectifs testés sont faibles et la portée générale de ces résultats reste à confirmer.
Autrement dit, le contenu de cet article reflète « ce que l'on comprend à ce jour ». Le cadre du rythme propre et de la résonance est solide, mais son interaction avec un phénomène aussi variable que la démarche humaine reste un sujet de recherche actif.
Liens avec les programmes scolaires (par niveau)
| Niveau | Matière / chapitre | Partie correspondante de l'article |
|---|---|---|
| Collège | Sciences : fréquence du son (nombre de vibrations par seconde) | La comparaison par le nombre d'oscillations par seconde |
| Lycée | Physique : oscillation harmonique simple, ondes | Le va-et-vient de la surface et l'effet de la largeur sur la vitesse |
| Lycée + | Physique : oscillation forcée et résonance | Le graphique en pic de la figure 1, la croissance de l'oscillation à chaque pas |
| Université | Mécanique des fluides, dynamique vibratoire | Le ballottement dans un récipient cylindrique et les fonctions de Bessel |
| Recherche | Biomécanique, physique de la mousse | Les différences individuelles de démarche, l'amortissement par la mousse |
| ― | Lien avec la vie quotidienne | Le transport des boissons, la prévention du ballottement dans les camions-citernes et les réservoirs |
- H. C. Mayer, R. Krechetnikov, "Walking with coffee: Why does it spill?", Physical Review E 85, 046117 (2012)
- A. Sauret et al., "Damping of liquid sloshing by foams", Physics of Fluids 27, 022103 (2015)
- J. Han, "A Study on the Coffee Spilling Phenomena in the Low Impulse Regime", Achievements in the Life Sciences 10 (2016)
- Improbable Research, liste des lauréats du Ig Nobel Prize (Prix de mécanique des fluides 2017)
- R. A. Ibrahim, "Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications", Cambridge University Press (2005)
※Cet article est une vulgarisation scientifique grand public. Les valeurs numériques présentées sont des estimations destinées à faciliter la compréhension du phénomène. En transportant une boisson chaude, faites attention à votre entourage au cas où elle déborderait.