端著咖啡走路，為什麼會灑出來？
― 杯中的水面有容易晃動的「節奏」
明明手幾乎沒有傾斜，走沒幾步，液體卻從杯緣溢了出來。原因不是手不靈巧。杯中的水面有一種「這個速度最容易晃」的節奏，而這個節奏剛好接近人走路的節奏。
把剛沖好的咖啡從廚房端到桌子。杯子裝得滿滿的，快到杯緣了。
一開始的兩三步都沒事。但走到第五步左右，水面開始前後大幅晃動。明明自認為走得很小心，咖啡色的液滴卻從杯緣灑了出來。
但同樣的量,如果是小小的酒杯，卻意外地不太會灑出來。容器的大小,到底改變了什麼？
會灑出來的原因，只有兩個
杯中的液體，天生就容易以固定的速度來回晃動。在一般的馬克杯裡，這個節奏幾乎正好與走路時手的晃動重疊。
水面的晃動不會立刻平息。前一步的晃動還殘留著，下一步又在同樣的時機推了一把，於是晃動就一點一點疊加起來。
想像盪鞦韆會比較容易理解。盪鞦韆只要在恰到好處的時機持續輕輕推，就會愈盪愈高。杯子裡的咖啡，也發生著同樣的事。
杯中的水面，想以固定的節奏晃動
試著把杯子輕輕橫向推一下再停住。水面會先一邊升高，接著換另一邊升高，這樣來回持續一陣子。這種來回運動，每個杯子都有固定的速度。我們姑且稱之為「固有節奏」。
這個節奏主要由杯子的寬度決定。寬度愈寬，水來回的距離愈長，晃動就愈慢。寬度愈窄，晃動就愈急促。
一般的馬克杯（直徑約7公分）,據說每秒會來回晃動3～4次左右。另一方面，人走路時手的前後晃動，大約是每秒2次。而且走路的晃動並不是單純的固定晃動，還混雜著2倍速的細微晃動。請看圖1右邊的圖表。馬克杯的波峰頂點，就在走路晃動成分集中的區帶正旁邊。
當節奏重疊時，即使手的晃動很小，水面的晃動也會被養得很大。這稱為「共振」。小杯子的波峰會偏向右側，因此不容易與走路的晃動重疊。酒杯不容易灑出來，原因就在這裡。
晃動不易停止，每一步都在累加
水非常清澈流動，煞停晃動的「煞車」力道極弱。一旦水面開始晃動，要來回好幾次才會逐漸平息。
所以，晃動還沒消失，下一步就來了。如果時機吻合，新的晃動就會疊加在前一次晃動之上。前幾步沒事，卻在第五、六步突然溢出來，原因就在這裡。
研究杯子與液體節奏的實驗指出，開始走路時的加速，是引發最大晃動的關鍵。另外也有報告指出，愈是不看杯子、走得愈快，手部的細微晃動就愈多，愈容易灑出來。
實驗證實，液體上方若有一層泡沫，水面的晃動會平息得快很多。原因可能是泡沫顆粒之間互相摩擦，也與杯壁摩擦，因而奪走了晃動的能量。也就是說，泡沫扮演著煞車的角色。
有報告指出，不用握把、而是像從上方用手指捏住杯緣一樣拿著，晃動比較不容易傳導。原因可能是手腕的彎曲，緩和了走路晃動中的細微成分。同一批研究者做的「倒著走反而不容易灑出來」的實驗，曾獲頒表揚幽默科學研究的「搞笑諾貝爾獎」。
那麼，該怎麼端才好？
了解了原理，不灑出來的訣竅自然就浮現了。
- 不要裝到杯緣。只要留一點空間，即使晃動變大，也要花更多時間才會溢出。
- 起步時要輕。一開始的加速是引發大晃動的關鍵。
- 盯著杯子，慢慢走。走路速度一放慢，晃動的節奏就會偏離水面的節奏。
- 改用寬度較窄的容器端。水面的節奏會變快，比較不容易與走路的晃動重疊。
總結
咖啡會灑出來，不是因為手在發抖。而是因為杯中水面容易晃動的節奏，與走路的晃動重疊，加上不易停止的晃動，每一步都在累積。
灑出來的原因不是手，
而是水面與腳步的節奏對上了。
同樣「在恰當時機推一把就會愈變愈大」的機制，也是被風吹晃的橋樑和大樓、光靠自己盪就能愈盪愈高的鞦韆的主角。至於水面上傳遞的晃動本身，也歡迎參考池塘裡擴散的圓形波紋這篇文章。
- 在馬克杯裡裝八分滿的水，在桌上小幅度左右晃動。試著改變速度，從慢、中等到快，就會找到讓水面突然大幅晃動的速度。
- 用同樣的水量，換成寬度較窄的杯子，做同樣的實驗。讓水面大幅晃動的速度，應該會比剛才更快。
- 最後，端著裝水的馬克杯，比較「盯著杯子慢慢走」和「看著前方正常走」這兩種情況，各自在第幾步時晃動會變大。
請在地板弄濕也沒關係的地方，用水來嘗試。請勿用熱飲來嘗試。
想知道更多的人 ― 術語、公式、與教科書的連結從國中理科到大學專業科目，明確標示這是哪個程度的內容
- 國中國中理科會學到的範圍
- 高中高中「物理」會學到的範圍
- 高中＋高中的進階內容，或教科書專欄等級的內容
- 大學高中不會學到、屬於大學專業科目（流體力學、振動工程學）的內容
- 研究連大學也不會當作「定論」來教、目前研究者仍在探討中的內容
國中術語：這個現象是有名字的
- 晃盪（Sloshing）：容器中的液體，水面隨著容器的晃動而來回晃動的現象。在油罐車或大型儲槽中，也是個問題。
- 固有振動數：物體自然晃動時，每秒來回的次數。也就是本文所說的「固有節奏」。單位是赫茲。
- 共振：外部晃動的速度接近固有振動數時，即使力量很小，晃動也會被養得很大的現象。
國中高中用公式確認：馬克杯的水面每秒晃動幾次？
對於圓形杯子、液體夠深時，估算最基本的晃動速度。深度的影響，如果深度比半徑大很多，幾乎可以忽略不計。
| 符號 g：重力加速度（單位為公尺每秒平方） | 9.8 |
| 符號 R：馬克杯內側半徑（單位為公尺） | 0.035 |
| 圓形容器最基本晃動所決定的係數（據稱由貝索函數求出的值） | 1.84 |
| 符號 f：求固有振動數（單位為赫茲）的公式 | f ＝ √(g × 1.84 ÷ R) ÷ (2π) |
| 重力加速度乘以係數 | 9.8 × 1.84 ≒ 18.0 |
| 除以半徑 | 18.0 ÷ 0.035 ≒ 514 |
| 開平方根（每秒角度的推進量） | √514 ≒ 22.7 |
| 除以一圈的角度 | 22.7 ÷ 6.28 ≒ 3.6 |
| 比較：半徑2公分的小杯子的情況 | 18.0 ÷ 0.02 ＝ 900 |
| 開平方根 | √900 ＝ 30 |
| 除以一圈的角度 | 30 ÷ 6.28 ≒ 4.8 |
| 走路速度：每分鐘120步換算成每秒 | 120 ÷ 60 ＝ 2 |
| 其2倍的細微晃動 | 2 × 2 ＝ 4 |
馬克杯每秒約晃動3.6次，小杯子約4.8次。走路晃動的成分集中在每秒2次與4次附近，因此從數字上也能看出馬克杯更容易與之重疊。
高中高中＋簡諧運動與強迫振動的共振
高中水面的來回運動，近似於彈簧懸吊重物的「簡諧運動」。傾斜的水面被重力拉回，卻因為慣性衝過頭而向另一側傾斜，如此反覆。拉回的力量愈強（容器愈窄），來回的速度就愈快。
高中＋在外部週期性晃動的「強迫振動」中，晃動的振動數愈接近固有振動數，晃動的振幅就愈大。阻止晃動的阻力愈小，這個波峰就會愈尖銳、愈高。水的阻力很小，所以波峰容易變得尖銳。
大學圓筒容器晃盪的固有振動數
圓筒容器液面的晃動，是由「液體不會從容器壁進出」這個條件所決定，對應到貝索函數導數為零的點。最低階的非對稱晃動所對應的值約為1.84。若液體深度為 H，深度的效應會以雙曲正切的因子相乘，當 H 與半徑同等或更大時，該因子幾乎趨近於1。另一方面，走路時手部的運動包含走路振動數及其整數倍的成分，還混雜著不規則的成分，因此實際的晃動被視為一種機率性的強迫振動來處理。
研究目前還不清楚的事
- 如何處理走路方式的個人差異。 走路速度和手臂擺動方式因人而異，手部晃動中哪個成分會養大水面晃動，會因條件而得出不同結論。
- 預測泡沫抑制晃動強度的方法。 據稱效果會因泡沫顆粒大小與泡層厚度而異，目前尚未建立能針對每種飲料準確預測的方法。
- 不同拿法的效果。 雖然有報告指出從上方捏住杯緣的拿法、或倒著走的搬運方式比較不容易灑出來，但實驗人數較少，能推廣到什麼程度仍在檢討中。
也就是說，本文的內容也是「目前已知範圍內的說明」。固有節奏與共振這個骨架是確定的，但與走路方式這種變異很大的對象組合起來時，研究仍在持續進行中。
與教科書的連結（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文何處 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科：聲音的振動數（每秒振動的次數） | 以每秒晃動幾次來比較的思考方式 |
| 高中 | 物理：簡諧運動・波 | 水面的來回運動，以及寬度改變速度的原因 |
| 高中＋ | 物理：強迫振動與共振 | 圖1的波峰圖表、晃動每一步都在養大的原因 |
| 大學 | 流體力學・振動工程學 | 圓筒容器的晃盪與貝索函數 |
| 研究 | 生物力學・泡沫物理學 | 走路方式的個人差異、泡沫抑制晃動的方式 |
| ― | 與生活的連結 | 飲料的端法、油罐車與蓄水槽的防晃對策 |
- H. C. Mayer, R. Krechetnikov, "Walking with coffee: Why does it spill?", Physical Review E 85, 046117 (2012)
- A. Sauret ほか, "Damping of liquid sloshing by foams", Physics of Fluids 27, 022103 (2015)
- J. Han, "A Study on the Coffee Spilling Phenomena in the Low Impulse Regime", Achievements in the Life Sciences 10 (2016)
- Improbable Research・搞笑諾貝爾獎 得獎者名單（2017年 流體力學獎）
- R. A. Ibrahim, "Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications", Cambridge University Press (2005)
※本文為大眾科普解說。文中數值僅為幫助理解原理的參考、概算值。搬運熱飲時，請留意周圍環境，即使灑出來也不要潑到別人身上。