船乗りは、なぜロープを柱に数回巻くだけで大きな船を止められるの？
― ひと巻きごとに、手の力は「かけ算」でふくらみます
港では、何トンもある船を、船乗りがロープ1本で押さえています。コツは、岸の柱にロープを2〜3回巻きつけることです。巻いた部分の摩擦は、足し算ではなく、かけ算で効いてきます。3回巻けば、手の力はおよそ300倍にもなるのです。
漁港で、小さな漁船が岸に寄ってきます。船から投げられたロープを、岸の人が受け取ります。
その人は綱を引っぱり合うことはしません。岸にある鉄の短い柱に、くるくるとロープを巻きつけるだけです。
船はまだ少し動いているのに、片手でロープの端を持っているだけで、ぴたりと止まります。力持ちでなくても、なぜあれで止められるのでしょうか。
理由は2つだけ
曲がったロープを引くと、ロープは柱に押しつけられます。押しつける力が強いほど、すべりにくくなります。
巻いた部分を細かく区切ると、どの区切りも力を同じ割合だけ減らします。割合で減るので、効き目はかけ算で積み重なります。
この2つが組み合わさると、巻いた回数が1回増えるたびに、押さえられる力が何倍にもなります。順に見ていきましょう。
引くほど強く押しつけられる、ロープの性質
机の上の本を指で押しながら動かすと、強く押すほど動かしにくくなります。この「押しつける力に比例して、すべりを止める力」が摩擦です。
柱に巻いたロープでは、この押しつける力をロープ自身が作ります。ぴんと張ったロープが曲がると、曲がりの内側、つまり柱のほうへ押しつけられます。船が強く引くほど、ロープは柱を強く押します。すると摩擦も強くなります。引かれるほど止める力も増す、という都合のよい関係です。
摩擦は「足し算」ではなく「かけ算」で効く
巻いたロープを、ごく短い区切りに分けて考えます。船側の端では、ロープは強く引かれています。そこから柱にそって進むと、区切りごとに摩擦が少しずつ力を肩代わりします。
ポイントは、どの区切りでも「そこでの力の何割か」を肩代わりすることです。力が大きいところでは柱を強く押すので、多く肩代わりします。力が小さくなると、肩代わりも小さくなります。いつも同じ割合で減っていくのです。
これは、銀行の利子が複利でふくらむのと同じ形です。1周で力が約6.6分の1になるなら、2周では6.6分の1のさらに6.6分の1になります。図1の右の棒グラフを見てください。棒が1周ごとに同じ高さずつ伸びているのは、1周ごとに同じ倍率がかかるからです。3周巻けば、手の20キロで約5.7トンを押さえられる計算になります。
もう1つ意外なのは、柱の太さが関係ないことです。太い柱はロープが長く触れますが、そのぶん押しつける力は弱まります。2つの効果がちょうど打ち消し合い、効き目を決めるのは「何周巻いたか」だけになります。
大きな船には、ロープを巻きつけて回る太い筒があります。キャプスタンと呼ばれる巻き上げ機です。船乗りはロープの端を軽く引いているだけです。回る筒との摩擦が、何百倍の力でロープをたぐり寄せます。手をゆるめれば、ロープはすぐ筒の上をすべります。力の加減を、手のひらで細かく調整できるのです。
ロープを扱う仕事では、ロープを手首や指に巻きつけないことが基本とされています。巻きつけた手は、柱と同じく何倍もの力で締めつけられます。船が急に動くと、手ごと引きこまれてしまいます。押さえるのは、いつも握った手のひらの中だけにします。
まとめ
ロープを柱に巻くと、引かれるほど柱を強く押し、摩擦も強くなります。そして摩擦は区切りごとに同じ割合で力を減らすので、効き目は巻いた回数に応じてかけ算でふくらみます。港の船乗りは、この性質を経験で知っていて、少ない力で大きな船を止めています。
摩擦は、巻くたびに「倍」で効く。
だから20キロの手で、トンの船を止められる。
足の裏の摩擦が勝負を決める話は、「綱引きは、力の強いチームが勝つの？」でくわしく紹介しています。
- 2リットルのペットボトルに水を入れ、ひもで結びます。ほうきの柄を2つの椅子の背にわたします。
- ひもを柄に半周だけかけて、反対側の端を指でつまみます。ボトルを支える指の重さを覚えておきます。
- 次に1周、2周と巻く回数を増やします。2周になると、指1本でも楽に止められるはずです。
ボトルは床から少しだけ浮かせて行いましょう。つるつるの柄より、木の柄やざらざらした布を巻いた柄のほうが、効き目の違いがはっきり分かります。
もっと知りたい人へ ― 用語・数式・教科書とのつながり中学理科から大学の専門科目まで、どのレベルの話かを明示しています
- 中学中学校の理科で習う範囲
- 高校高校の「物理基礎」「物理」で習う範囲
- 高校＋高校の発展、または教科書のコラム扱いの内容
- 大学高校では習わない、大学の専門科目（力学・機械力学）の内容
- 研究大学でも「定説」として教わらない、いま研究者が調べている最中の話
中学用語：この現象には名前があります
- 摩擦力：ふれ合った面どうしがすべるのを止めようとする力。押しつける力が大きいほど大きくなります。
- 張力：ぴんと張ったロープやひもが、両端を引っぱる力のことです。
- キャプスタン方程式：柱に巻いたロープの両端の力の比が、摩擦係数と巻いた角度だけで決まることを表す式です。オイラーのベルト公式とも呼ばれます。
中学高校式で確かめる：3周巻くと、何トンまで押さえられる？
船側の力を、手の力と巻いた角度から求めます。角度は1周を 2 × 3.14 として数えます。記号の意味と単位は次の表のとおりです。
| T船 | 船側でロープを引く力（キロ重） |
| T手 | 手でロープの端を押さえる力（キロ重） |
| μ | ロープと柱のあいだの摩擦係数（単位なし） |
| θ | ロープを巻いた角度（1周が約6.28。単位はラジアン） |
| e | ネイピア数。約2.718の決まった数 |
| 記号で書くと | T船 ＝ T手 × eμθ |
| 言葉で書くと | 船側の力 ＝ 手の力 ×（ネイピア数の「摩擦係数 × 巻いた角度」乗） |
| どこから来る式か | ロープのごく短い一区間で「張力の変化 ＝ 摩擦係数 × 柱を押す力」がつり合うことを、巻いた全体にわたって積み重ねた式です。18世紀にオイラーが導いたとされています。 |
| 手の力 | 20キロ重（片手で無理なく押さえられる目安） |
| 摩擦係数 | およそ0.3（ロープと鉄の柱の目安とされる。材質や濡れ具合で変わる） |
| 巻いた回数 | 3周 |
| ネイピア数の 1.884 乗 | およそ 6.6 とされます（1周ぶんの倍率） |
| 1周の角度 | 2 × 3.14 ＝ 6.28 |
| 1周ぶんの「摩擦係数 × 角度」 | 0.3 × 6.28 ≒ 1.884 |
| 2周ぶんの倍率 | 6.6 × 6.6 ≒ 43.56 |
| 3周ぶんの倍率 | 43.56 × 6.6 ≒ 287 |
| 3周で押さえられる船側の力 | 20 × 287 ＝ 5740 キロ重 |
手の20キロで、約5.7トンの力を押さえられる計算です。乗用車4台ぶんほどの重さに相当します。1周ずつ増やすたびに6.6倍になるので、4周なら約1900倍です。実際の現場では、ロープが柱の上ですべらせながら少しずつ力を逃がす使い方もします。
高校高校＋なぜ「割合」で減るのか
高校高校の物理では、動きはじめる直前の摩擦力を「静止摩擦係数 × 垂直抗力」と習います。垂直抗力とは、面が物体を押し返す力です。曲がったロープでは、張力が大きいほど垂直抗力も大きくなります。
高校＋短い区間で、張力の減り方が「張力そのもの」に比例する関係は、微分方程式で表されます。これを解くと指数関数が現れます。放射性物質が半減期ごとに半分になる話と、数学的には同じ形です。柱の半径が式から消えるのは、ロープが柱にふれる長さと、柱を押す力の強さが、逆向きに半径へ比例するためです。
大学キャプスタン方程式とベルト摩擦
この関係は、キャプスタン方程式、またはオイラー・アイテルワインの式と呼ばれます。機械力学では、ベルトとプーリー（滑車）の間で伝えられる力の上限を決める「ベルト摩擦」の基本式として習います。実際のロープでは、曲げに対する硬さや太さがあり、式の前提どおりにはなりません。そのため、太いロープや細い柱では補正が必要とされています。
📖 式の導出や、さらに先の内容：キャプスタン方程式（ウィキペディア） ／ 摩擦（ウィキペディア）
研究まだはっきりとはわかっていないこと
- 結び目は、なぜほどけないのか。 結び目も、ロープどうしが巻きつき合う摩擦で力を止めています。どの結び方がなぜ強いかは、長く経験則に頼ってきました。2020年には、力がかかると色が変わる繊維で結び目の内部を調べ、ねじれや交差の数から強さを予測する研究が発表されています。
- 摩擦係数は一定ではない。 実際の摩擦係数は、すべる速さ、湿り気、ロープの編み方で変わるとされています。濡れたロープが乾いたロープより効きやすい場合もあれば、その逆もあり、単純には決められません。
- 伸びるロープの扱い。 化学繊維のロープは大きく伸びます。巻いた部分の中で伸び方が場所ごとに変わるため、すべりはじめの位置や速さの予測は、いまも工学の課題とされています。
つまりこの記事の内容も、「いまわかっている範囲での説明」です。5740キロ重という数は、摩擦係数を0.3と置いたときの目安にすぎません。
教科書とのつながり（レベル別）
| レベル | 科目・単元 | この記事のどこ |
|---|---|---|
| 中学 | 理科1分野「力のはたらき」 | 押しつけるほど強くなる摩擦 |
| 高校 | 物理基礎「摩擦力」 | 静止摩擦係数と垂直抗力 |
| 高校＋ | 数学Ⅲ「微分方程式・指数関数」 | 割合で減るとかけ算で効く理由 |
| 大学 | 機械力学「ベルト摩擦」 | キャプスタン方程式 |
| 研究 | 結び目の力学 | 結び目の強さの予測 |
| ― | 生活とのつながり | 荷物をしばる・犬のリードを柱にかける・船の係留 |
※本記事は一般向けの科学解説です。掲載した数値は、しくみを理解するための目安・概算です。実際の係留作業は、ロープの強さや現場の指示に従って行ってください。