Pourquoi un marin arrête-t-il un gros navire en enroulant juste une corde sur un poteau ?
― À chaque tour, la force de la main se multiplie
Dans un port, un marin retient à lui seul, avec une simple corde, un navire de plusieurs tonnes. L'astuce : enrouler la corde 2 ou 3 fois autour d'un poteau sur le quai. Le frottement de la partie enroulée n'agit pas en s'additionnant, mais en se multipliant. Avec 3 tours, la force de la main est amplifiée environ 300 fois.
Dans un port de pêche, un petit bateau s'approche du quai. Une personne sur le quai attrape la corde lancée depuis le bateau.
Elle ne tire pas dessus de toutes ses forces. Elle enroule simplement la corde autour d'un court poteau en fer fixé sur le quai.
Le bateau bouge encore un peu, mais en tenant juste le bout de la corde d'une seule main, il s'arrête net. Comment une personne sans force particulière peut-elle l'arrêter ainsi ?
Seulement deux raisons
Quand on tire sur une corde qui forme un coude, elle se presse contre le poteau. Plus la pression est forte, moins elle glisse.
Si l'on découpe la partie enroulée en petits segments, chaque segment réduit la force de la même proportion. Comme la réduction se fait en pourcentage, l'effet s'accumule par multiplication.
Combinés, ces deux effets font que chaque tour supplémentaire multiplie la force retenue. Voyons cela pas à pas.
Une propriété de la corde : plus on tire, plus elle presse
Si vous poussez un livre sur une table avec le doigt, plus vous appuyez fort, plus il est difficile à déplacer. Cette « force qui empêche de glisser, proportionnelle à la force de pression », c'est le frottement.
Pour la corde enroulée autour du poteau, c'est la corde elle-même qui crée cette pression. Quand une corde tendue forme un coude, elle presse vers l'intérieur de ce coude, c'est-à-dire vers le poteau. Plus le bateau tire fort, plus la corde presse fort sur le poteau. Le frottement augmente alors aussi. C'est une relation bien pratique : plus on tire, plus la force qui retient augmente.
Le frottement agit par « multiplication », pas par « addition »
Découpons la corde enroulée en tout petits segments. À l'extrémité côté bateau, la corde est fortement tirée. En avançant le long du poteau, chaque segment fait prendre en charge une petite part de la force par le frottement.
Le point clé : à chaque segment, c'est « une certaine proportion de la force à cet endroit » qui est prise en charge. Là où la force est grande, le poteau est pressé fort, donc la part prise en charge est grande. Quand la force diminue, la part prise en charge diminue aussi. La réduction se fait toujours selon la même proportion.
C'est la même logique que des intérêts bancaires composés qui s'accumulent. Si un tour divise la force par environ 6,6, deux tours la divisent encore par 6,6, sur le résultat déjà divisé. Regardez l'histogramme de droite dans la figure 1. Si les barres montent d'une même hauteur à chaque tour, c'est parce qu'un même facteur multiplicatif s'applique à chaque tour. Avec 3 tours, on peut retenir environ 5,7 tonnes avec seulement 20 kg dans la main.
Autre fait surprenant : l'épaisseur du poteau n'a pas d'importance. Un poteau épais est touché par une plus grande longueur de corde, mais la pression exercée y est plus faible. Les deux effets s'annulent exactement, et seul « le nombre de tours enroulés » détermine l'effet final.
Les grands navires possèdent un cylindre épais autour duquel on enroule la corde et qui tourne. C'est le cabestan. Le marin ne fait que tirer légèrement sur l'extrémité de la corde. Le frottement avec le cylindre en rotation ramène la corde avec une force des centaines de fois supérieure. Si l'on relâche la main, la corde glisse aussitôt sur le cylindre. On peut ainsi régler finement la force, au creux de la paume.
Dans les métiers du cordage, la règle de base est de ne jamais enrouler la corde autour du poignet ou des doigts. Une main ainsi enroulée subit, comme le poteau, une force multipliée plusieurs fois. Si le bateau bouge soudainement, la main entière peut être entraînée. On ne retient qu'avec la paume, toujours simplement fermée.
En résumé
Quand on enroule une corde autour d'un poteau, plus on tire, plus elle presse fort sur le poteau, et plus le frottement augmente. Comme le frottement réduit la force de la même proportion à chaque segment, l'effet s'amplifie par multiplication selon le nombre de tours. Les marins des ports connaissent cette propriété par l'expérience, et retiennent de grands navires avec très peu de force.
Le frottement agit « en doublant » à chaque tour.
C'est pourquoi 20 kg dans la main suffisent à arrêter un navire d'une tonne.
L'histoire où le frottement sous les pieds décide de la victoire est développée dans « Est-ce que l'équipe la plus forte gagne toujours au tir à la corde ? ».
- Remplissez d'eau une bouteille de 2 litres et attachez-y une ficelle. Posez le manche à balai entre les dossiers de deux chaises.
- Faites passer la ficelle un demi-tour autour du manche, puis pincez l'autre extrémité entre vos doigts. Notez la force ressentie dans le doigt qui soutient la bouteille.
- Augmentez ensuite à 1 tour, puis 2 tours. À 2 tours, un seul doigt devrait suffire pour retenir facilement.
Faites en sorte que la bouteille flotte légèrement au-dessus du sol. La différence est plus nette avec un manche en bois ou enveloppé de tissu rugueux qu'avec un manche lisse.
Pour en savoir plus ― termes, formules et liens avec les manuels scolairesDu collège aux matières spécialisées de l'université, chaque niveau est indiqué clairement
- CollègeNiveau des sciences au collège
- LycéeNiveau « physique fondamentale » et « physique » au lycée
- Lycée+Approfondissement lycéen, ou encadré de manuel
- UniversitéNon enseigné au lycée ; matière universitaire spécialisée (mécanique, mécanique des machines)
- RechercheNon encore enseigné comme « établi » même à l'université ; sujet en cours d'étude par les chercheurs
CollègeVocabulaire : ce phénomène a un nom
- Force de frottement : force qui s'oppose au glissement entre deux surfaces en contact. Plus la force de pression est grande, plus elle est forte.
- Tension : force qui tire sur les deux extrémités d'une corde ou d'une ficelle tendue.
- Équation du cabestan : formule exprimant que le rapport des forces aux deux extrémités d'une corde enroulée sur un poteau ne dépend que du coefficient de frottement et de l'angle d'enroulement. Aussi appelée formule de la courroie d'Euler.
CollègeLycéeVérification par le calcul : avec 3 tours, jusqu'à combien de tonnes peut-on retenir ?
On calcule la force côté bateau à partir de la force de la main et de l'angle d'enroulement. L'angle se compte avec un tour complet égal à 2 × 3,14. La signification des symboles et leurs unités figurent dans le tableau suivant.
| T_bateau | Force qui tire sur la corde côté bateau (kilogramme-force) |
| T_main | Force qui retient l'extrémité de la corde à la main (kilogramme-force) |
| μ | Coefficient de frottement entre la corde et le poteau (sans unité) |
| θ | Angle d'enroulement de la corde (un tour ≈ 6,28. Unité : radian) |
| e | Nombre d'Euler. Constante d'environ 2,718 |
| En symboles | T_bateau ＝ T_main × eμθ |
| En mots | Force côté bateau ＝ force de la main × (nombre d'Euler élevé à la puissance « coefficient de frottement × angle d'enroulement ») |
| D'où vient cette formule | Elle résulte de l'accumulation, sur toute la longueur enroulée, de l'équilibre « variation de tension ＝ coefficient de frottement × force pressant sur le poteau », valable sur chaque très court segment de corde. On l'attribue à Euler, au XVIIIe siècle. |
| Force de la main | 20 kilogrammes-force (ce qu'on peut retenir sans forcer avec une main) |
| Coefficient de frottement | environ 0,3 (valeur usuelle pour une corde sur un poteau en fer ; varie selon le matériau et l'humidité) |
| Nombre de tours enroulés | 3 tours |
| Nombre d'Euler à la puissance 1,884 | environ 6,6 (facteur pour un tour) |
| Angle pour un tour | 2 × 3,14 ＝ 6,28 |
| « Coefficient de frottement × angle » pour un tour | 0,3 × 6,28 ≒ 1,884 |
| Facteur pour deux tours | 6,6 × 6,6 ≒ 43,56 |
| Facteur pour trois tours | 43,56 × 6,6 ≒ 287 |
| Force côté bateau retenue avec 3 tours | 20 × 287 ＝ 5740 kilogrammes-force |
Avec 20 kg dans la main, on peut donc retenir environ 5,7 tonnes, soit à peu près le poids de 4 voitures. Le facteur étant multiplié par 6,6 à chaque tour supplémentaire, 4 tours donnent environ 1900 fois. Sur le terrain, on utilise aussi la corde en la laissant volontairement glisser un peu sur le poteau pour relâcher progressivement la force.
LycéeLycée+Pourquoi la réduction se fait-elle « en proportion » ?
LycéeEn physique de lycée, on apprend que la force de frottement juste avant qu'un objet commence à bouger vaut « coefficient de frottement statique × force normale ». La force normale est la force par laquelle une surface repousse l'objet. Pour une corde qui forme un coude, plus la tension est grande, plus la force normale l'est aussi.
Lycée+Sur un court segment, la relation « la diminution de la tension est proportionnelle à la tension elle-même » s'exprime par une équation différentielle. Sa résolution fait apparaître une fonction exponentielle. C'est mathématiquement la même forme que la décroissance d'une substance radioactive de moitié à chaque demi-vie. Si le rayon du poteau disparaît de la formule, c'est parce que la longueur de corde en contact et l'intensité de la force de pression sur le poteau sont, en sens inverses, proportionnelles au rayon.
UniversitéÉquation du cabestan et frottement de courroie
Cette relation s'appelle l'équation du cabestan, ou formule d'Euler-Eytelwein. En mécanique des machines, on l'apprend comme la formule de base du « frottement de courroie », qui détermine la limite supérieure de la force transmissible entre une courroie et une poulie. Une corde réelle a une certaine rigidité en flexion et une épaisseur, ce qui l'éloigne des hypothèses de la formule. C'est pourquoi des corrections sont jugées nécessaires pour les cordes épaisses ou les poteaux fins.
📖 Pour la démonstration de la formule et pour aller plus loin : Équation du cabestan (Wikipédia, en japonais) ／ Frottement (Wikipédia, en japonais)
RechercheCe qui n'est pas encore bien compris
- Pourquoi un nœud ne se défait-il pas ? Un nœud aussi retient la force grâce au frottement entre les brins de corde qui s'enroulent l'un autour de l'autre. Savoir quel type de nœud est le plus solide et pourquoi a longtemps reposé sur l'expérience empirique. En 2020, une étude a examiné l'intérieur des nœuds avec des fibres qui changent de couleur sous l'effet de la force, afin de prédire leur solidité à partir du nombre de torsions et de croisements.
- Le coefficient de frottement n'est pas constant. Le coefficient de frottement réel varierait selon la vitesse de glissement, l'humidité et le mode de tressage de la corde. Une corde mouillée peut être plus efficace qu'une corde sèche dans certains cas, et l'inverse dans d'autres : on ne peut pas trancher simplement.
- Le cas des cordes extensibles. Les cordes en fibres chimiques s'étirent beaucoup. Comme l'étirement varie selon l'endroit à l'intérieur de la partie enroulée, prévoir où et à quelle vitesse le glissement commencera reste aujourd'hui encore un défi d'ingénierie.
Autrement dit, le contenu de cet article est aussi « une explication dans les limites de ce qui est connu aujourd'hui ». Le chiffre de 5740 kilogrammes-force n'est qu'un ordre de grandeur, obtenu en posant le coefficient de frottement à 0,3.
Liens avec les manuels scolaires (par niveau)
| Niveau | Matière / unité | Passage correspondant de l'article |
|---|---|---|
| Collège | Sciences, domaine 1 « Action des forces » | Le frottement, plus fort quand on presse plus fort |
| Lycée | Physique fondamentale, « Force de frottement » | Coefficient de frottement statique et force normale |
| Lycée+ | Mathématiques III, « Équations différentielles, fonction exponentielle » | Pourquoi une réduction proportionnelle produit un effet multiplicatif |
| Université | Mécanique des machines, « Frottement de courroie » | Équation du cabestan |
| Recherche | Mécanique des nœuds | Prédiction de la solidité des nœuds |
| ― | Liens avec la vie quotidienne | Attacher un colis, accrocher la laisse d'un chien à un poteau, amarrage d'un navire |
- Wikipédia « Équation du cabestan » (キャプスタン方程式, en japonais)
- Wikipédia « Frottement » (摩擦, en japonais)
- Patil, V. P., Sandt, J. D., Kolle, M., Dunkel, J. "Topological mechanics of knots and tangles." Science 367 (2020)
- Unité « force de frottement » des manuels de physique fondamentale de lycée (différents éditeurs)
※ Cet article est une vulgarisation scientifique à destination du grand public. Les valeurs indiquées sont des ordres de grandeur destinés à faciliter la compréhension du phénomène. Pour toute opération réelle d'amarrage, suivez la résistance réelle des cordes et les consignes en vigueur sur le terrain.