水手為什麼只把繩子繞柱子幾圈，就能停住一艘大船？
― 每繞一圈，手上的力就會用「乘法」放大
在港口，水手僅用一條繩子，就能壓住重達數噸的船。訣竅是把繩子繞在岸邊的柱子上2〜3圈。繞起來的部分，摩擦力不是加法，而是乘法在起作用。只要繞3圈，手上的力就能放大約300倍。
在漁港，一艘小漁船靠向岸邊。船上拋出繩子，岸上的人接住。
那個人不會跟船拔河。他只是把繩子一圈一圈繞在岸邊一根短短的鐵柱上。
船其實還在稍微移動，但那個人只用單手握著繩尾，船就穩穩地停住了。就算不是力氣特別大的人，為什麼也能停住船呢？
理由只有兩個
拉動彎曲的繩子時，繩子會被壓向柱子。壓的力越大，就越不容易滑動。
把繞起來的部分切成很多小段來看，每一小段都會以相同的比例減少力量。因為是按比例減少，效果就會以乘法方式不斷累積。
這兩點結合起來，繞的圈數每增加一圈，能壓住的力量就會倍增。接下來按順序來看看。
越拉越用力壓住的，繩子的特性
用手指壓著桌上的書並移動它時，壓得越用力就越難移動。這種「隨壓力大小成比例、阻止滑動的力」就是摩擦力。
繞在柱子上的繩子，這股壓力是繩子自己產生的。拉得緊繃的繩子一旦彎曲，就會被壓向彎曲內側，也就是柱子的方向。船拉得越用力，繩子就越用力壓住柱子，摩擦力也隨之增強。拉得越用力，止住的力量也越大，這是一種很方便的關係。
摩擦力不是「加法」而是「乘法」在起作用
把繞起來的繩子分成非常短的小段來思考。在船側的一端，繩子被強力拉著。從那裡沿著柱子前進時，每一小段的摩擦力都會一點一點分擔掉一部分的力。
重點在於，不管哪一小段，都是分擔掉「當時力量的某個比例」。力量大的地方，壓住柱子的力也大，因此分擔得多；力量變小之後，分擔的量也隨之變小。它總是以相同的比例遞減。
這和銀行利息以複利方式增長是同樣的形式。如果繞1圈能讓力量變成大約六分之一（1/6.6），那麼繞2圈就是在那六分之一的基礎上再乘以六分之一。請看圖1右邊的長條圖，每繞一圈，長條就以相同的高度增長，這正是因為每繞一圈都會乘上相同的倍率。繞3圈的話，計算下來手上20公斤的力就能壓住約5.7噸的力量。
另一個令人意外的地方是，柱子的粗細其實無關。柱子越粗，繩子接觸的長度越長，但相對地壓住的力也會變弱。這兩種效果剛好互相抵消，最後決定效果的，只有「繞了幾圈」而已。
大船上有一根繩子繞著轉動的粗筒。這種捲揚機稱為卷帶機（capstan）。水手只是輕輕拉著繩尾，靠著繩子與轉動筒之間的摩擦，就能用幾百倍的力量把繩子拉近。只要放鬆手，繩子就會立刻在筒上滑動，力道的強弱可以靠手掌細微調整。
在處理繩索的工作中，基本原則是不要把繩子繞在手腕或手指上。繞住的手，會像柱子一樣被以好幾倍的力量勒緊。一旦船突然移動，整隻手都會被拖進去。壓繩子時，永遠只用握緊的手掌來承受。
總結
把繩子繞在柱子上時，拉得越用力，柱子被壓得越緊，摩擦力也隨之增強。而且摩擦力在每一小段都以相同比例減少力量，因此效果會依繞的圈數以乘法方式不斷放大。港口的水手憑經驗掌握了這個特性，用很小的力氣就能停住巨大的船。
摩擦力，每繞一圈就「倍增」生效。
所以20公斤的手力，能停住上噸的船。
關於腳底摩擦力決勝負的故事，在〈拔河真的是力氣大的隊伍會贏嗎？〉中有詳細介紹。
- 在2公升的寶特瓶裡裝水，用繩子綁好。把掃帚柄架在兩張椅子的椅背上。
- 把繩子繞掃帚柄半圈，另一端用手指捏著。記住撐住瓶子時手指感受到的重量。
- 接著把繞的圈數增加到1圈、2圈。繞到2圈時，應該光靠一根手指就能輕鬆撐住。
請讓寶特瓶稍微離地進行實驗。比起光滑的柄，木製的柄或纏了粗布的柄，效果差異會更明顯。
想知道更多的人 ― 用語、公式與教科書的關聯從國中理科到大學專業科目，明確標示是哪個程度的內容
- 國中國中理科課程範圍
- 高中高中「物理基礎」「物理」課程範圍
- 高中＋高中的進階內容，或教科書專欄式的內容
- 大學高中不會教、屬於大學專業科目（力學、機械力學）的內容
- 研究中連大學也不會當作「定論」教授、目前研究者仍在探究中的內容
國中用語：這個現象是有名字的
- 摩擦力：阻止互相接觸的兩個面滑動的力。壓的力越大，摩擦力就越大。
- 張力：拉得緊繃的繩子或線，在兩端產生的拉力。
- 卷帶方程式（Capstan equation）：表示繞在柱子上的繩子兩端力量之比，只由摩擦係數與繞的角度決定的公式。也稱為歐拉皮帶公式。
國中高中用公式驗證：繞3圈，最多能壓住幾噸？
從手上的力量與繞的角度，求出船側的力量。角度以1圈等於2 × 3.14來計算。各符號的意義與單位如下表。
| T船 | 船側拉繩子的力（公斤力） |
| T手 | 用手壓住繩尾的力（公斤力） |
| μ | 繩子與柱子之間的摩擦係數（無單位） |
| θ | 繩子繞的角度（1圈約為6.28，單位為弧度） |
| e | 納皮爾數（自然對數的底），約2.718的固定常數 |
| 用符號表示 | T船 ＝ T手 × eμθ |
| 用文字表示 | 船側的力 ＝ 手上的力 ×（納皮爾數的「摩擦係數 × 繞的角度」次方） |
| 公式從何而來 | 這是把繩子極短一小段中「張力的變化 ＝ 摩擦係數 × 壓住柱子的力」這個平衡關係，沿著整段繞繩累積起來的公式。據傳是18世紀由歐拉推導出來的。 |
| 手上的力 | 20公斤力（單手可輕鬆壓住的參考值） |
| 摩擦係數 | 約0.3（一般認為是繩子與鐵柱之間的參考值，會因材質及潮濕程度而變化） |
| 繞的圈數 | 3圈 |
| 納皮爾數的1.884次方 | 約為6.6（1圈的放大倍率） |
| 1圈的角度 | 2 × 3.14 ＝ 6.28 |
| 1圈的「摩擦係數 × 角度」 | 0.3 × 6.28 ≒ 1.884 |
| 2圈的放大倍率 | 6.6 × 6.6 ≒ 43.56 |
| 3圈的放大倍率 | 43.56 × 6.6 ≒ 287 |
| 繞3圈能壓住的船側力量 | 20 × 287 ＝ 5740公斤力 |
計算下來，手上20公斤的力量，能壓住約5.7噸的力，相當於4輛小客車的重量。每多繞1圈就會放大6.6倍，所以繞4圈的話約為1900倍。在實際現場，也會讓繩子在柱子上一邊滑動、一邊逐步釋放力量。
高中高中＋為什麼會按「比例」遞減
高中高中物理中，剛開始要滑動之前的摩擦力，學到的是「靜摩擦係數 × 正向力」。正向力是指接觸面反向推回物體的力。在彎曲的繩子中，張力越大，正向力也越大。
高中＋在極短的一小段中，張力的減少方式與「張力本身」成正比，這種關係可以用微分方程式來表示。解出這個方程式，就會出現指數函數。這與放射性物質每經過一個半衰期就減少一半的情形，在數學上是同一種形式。柱子的半徑會從公式中消失，是因為繩子接觸柱子的長度，與壓住柱子的力的強度，會朝相反方向與半徑成比例地變化。
大學卷帶方程式與皮帶摩擦
這種關係稱為卷帶方程式，或稱歐拉－艾特爾溫（Euler–Eytelwein）公式。在機械力學中，會學到它是決定皮帶與皮帶輪（滑輪）之間可傳遞力量上限的「皮帶摩擦」基本公式。實際的繩索有彎曲的硬度與粗細，並不完全符合公式的前提，因此對於粗繩子或細柱子，一般認為需要做修正。
📖 公式的推導過程與更深入的內容：卷帶方程式（維基百科，日文） ／ 摩擦（維基百科，日文）
研究中目前尚未完全弄清楚的事
- 結為什麼不會鬆開。 結也是靠繩子彼此纏繞產生的摩擦來止住力量。哪種打法為什麼比較牢，長期以來都是靠經驗法則。2020年有研究使用受力時會變色的纖維，觀察結內部的狀態，嘗試從扭轉與交叉的數量預測其強度。
- 摩擦係數並非固定不變。 一般認為，實際的摩擦係數會因滑動速度、潮濕程度、繩子的編織方式而改變。有時濕繩子比乾繩子更容易止滑，有時卻相反，並不能一概而論。
- 會伸長的繩子該如何處理。 化學纖維製的繩子伸長幅度很大。因為繞起來的部分中各處的伸長方式不同，開始滑動的位置與速度，至今仍是工程上的課題。
也就是說，本文的內容也只是「目前已知範圍內的說明」。5740公斤力這個數字，只是把摩擦係數設為0.3時的參考值而已。
與教科書的關聯（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 本文對應位置 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科第1分野「力的作用」 | 壓得越用力摩擦力越大 |
| 高中 | 物理基礎「摩擦力」 | 靜摩擦係數與正向力 |
| 高中＋ | 數學Ⅲ「微分方程式・指數函數」 | 按比例遞減為何會以乘法方式生效 |
| 大學 | 機械力學「皮帶摩擦」 | 卷帶方程式 |
| 研究中 | 結的力學 | 預測結的強度 |
| ― | 與生活的關聯 | 綁貨物・把狗繩繞在柱子上・船舶繫泊 |
※本文為一般大眾取向的科學解說。文中數值僅為理解原理所用的參考、估算值。實際的繫泊作業，請依照繩索的強度與現場指示進行。