手機的地圖，為什麼知道自己的
位置？
畫面上的藍點，能以幾公尺的精確度指出你的位置。手機並沒有發出電波。它只是在聽。即使如此還能知道位置，是因為它聽著兩萬公里高空的時鐘聲，並測量電波抵達所花的時間。而且這套機制，如果不修正相對論效應就無法成立。
假設在一片廣闊的原野上，立著幾座遠方的塔。每座塔都設定在整點準時敲鐘。
你有一支準確的時鐘，可以測出鐘聲晚了幾秒抵達。因為聲音的速度已知，就能從延遲的秒數算出到塔的距離。
只要知道一座塔是「3公里」，你就會落在以那座塔為圓心、半徑3公里的圓上某處。如果再測第二座、第三座塔，圓的交點就會唯一確定。
手機做的事情，正是同樣的道理。只是把塔換成人造衛星，把聲音換成電波。
衛星上搭載著非常精準的時鐘。它把時刻與自身位置，透過電波持續廣播出去。手機只是接收而已。
電波以光速前進。發送時刻與接收時刻的差，乘上光速就是距離。用多顆衛星做同樣的事，位置就能確定為一點。
然而，這裡有個大問題。手機沒有準確的時鐘。這套機制最巧妙的地方，就在於如何解決這個問題。讓我們依序看下去。
電波的速度，比你想像的「慢」
電波以光速前進，一秒可繞地球七圈半。速度快得驚人，但在這個用途上，反而是「恰到好處的慢」。
衛星位在大約兩萬公里高空，電波抵達需要約0.07秒。只要測出這段時間，就能算出距離。
問題在於所需的精確度。光在百萬分之一秒（1微秒）內前進300公尺。時間測量只要偏差1微秒，位置就會偏差300公尺。想要達到幾公尺的精確度，就必須以百億分之一秒為單位來測量時間。
所以衛星上搭載了原子鐘，一種數萬年才誤差1秒的時鐘。
手機並沒有那種時鐘
問題就在這裡。原子鐘體積大、造價高，裝不進手機。手機的時鐘精確度，只有一天誤差幾秒的程度。1秒的誤差，換算成距離是30萬公里，完全不能用。
那該怎麼辦？把時鐘誤差也當作一個未知數，一起計算出來。
來數數看想知道的東西：東西方向的位置、南北方向的位置、高度，到此為止是3個。再加上「自己的時鐘偏差了多少」，就變成4個。
未知數有4個，就需要4個線索。所以衛星至少要4顆，3顆無法確定位置。
而這還有一個意外的附加效果。解出時鐘誤差之後，手機就能把自己的時鐘校準到原子鐘等級的精確度。手機時刻之所以準確，是測位順便得到的結果。
它只是在告訴你準確的時刻。
這裡，會出現一個意想不到的角色，那就是相對論。看似只存在於教科書中的理論，在這套機制裡卻是日常都在修正的東西。
- 衛星以高速運動，所以它的時鐘比地面慢。每天約7微秒
- 衛星位在重力較弱的高處，所以它的時鐘比地面快。每天約45微秒
- 兩者相抵之後，衛星的時鐘每天大約快38微秒
把38微秒換算成距離，大約是11公里。若不修正，一天就會累積這麼多的位置偏差。第二天就是22公里，完全無法使用。
實際上，衛星的時鐘在發射前就已經預先調慢了這個量。地圖應用程式能正常運作這件事本身，就是相對論正確無誤的每日驗證。
即使如此仍會偏差 ― 誤差從何而來
- 大氣與電離層 ― 電波在太空中以光速前進，但在大氣中會稍微變慢。尤其高空電離層的影響很大，被認為是最主要的誤差來源之一
- 建築物的反射 ― 在都市裡，電波有時會先反射到大樓上才抵達。因為繞了遠路，距離就會被高估。在大樓林立處位置會亂跳，主因就在這裡
- 衛星的分布 ― 若集中在天空的某一方向，精確度會下降；越分散越好。這就像三腳架的腳越張開越穩定一樣
- 室內 ― 電波無法抵達。即使如此還能顯示位置，是因為併用了其他手段（下一節）
在建築物內或地下也能顯示出藍點，是因為手機結合了好幾種線索。
- 周圍的Wi-Fi電波 ― 比對能偵測到哪些無線網路，與事先蒐集好的地圖對照
- 手機基地台 ― 從連接的是哪個基地台，可得知大致範圍
- 加速度與方位感測器 ― 從前一個位置起，依步行方向與步數推算
這裡要提一個常見的誤解。衛星定位本身只是接收訊號。手機並沒有向衛星發送電波，衛星也不是在尋找手機。如果位置資訊被傳到外部，那是因為應用程式透過通訊網路把它送出去的。把「機制的原理」和「資訊會傳給誰」分開來理解，會很有幫助。
可以在戶外驗證的事
- 打開地圖應用程式，在寬闊的公園或河濱看藍點。靜止不動等1分鐘
- 接著移動到大樓夾峙的窄路，同樣等待。藍點周圍的藍色圓圈（精確度的參考範圍）應該會變大
- 走進建築物內，可能會進一步擴大，或位置直接跳動
- 有些應用程式可以顯示目前接收到的衛星數量，試著確認這個數字會隨地點改變
天空看起來越開闊的地方，精確度就越高。這正是「能看到越多、分布越分散的衛星越好」這個原理的體現。在大樓林立處變差，是因為能看到的衛星變少，加上反射電波混入的緣故。邊走邊操作手機很危險，請站定並留意周遭安全再進行。
總結
手機之所以能知道位置，是因為衛星不斷廣播「現在幾點」，再從電波抵達所花的時間推算出距離。手機沒有準確的時鐘，所以把時鐘誤差也當作未知數一起解出來。因此需要4顆以上的衛星，附帶還能得到準確的時刻。
測量位置，就是測量時間。
而時間，會因速度與重力而改變。
想知道更多 ― 用語、公式與教科書的連結從國中理科到研究中的話題，明確標示每段內容的程度
- 國中國中理科、數學範圍內的內容
- 高中高中「物理基礎」「數學」範圍內的內容
- 高中＋高中「物理」，或教科書中列為進階、專欄的內容
- 大學高中不教、屬於大學專業科目（定位工程、相對論）的內容
- 研究中連大學都還不當作「定論」教授、研究人員正在調查中的話題
國中用語：與定位相關的詞彙
- GPS：美國運行的衛星定位系統名稱。此外還有歐洲、俄羅斯、中國、日本各自的系統，統稱為GNSS（全球衛星導航系統）。手機會同時使用多套系統。
- 準天頂衛星系統（QZSS，暱稱「引路」）：日本的衛星定位系統。利用能長時間停留在日本上空的軌道，補強大樓林立的日本地區的精確度。
- 原子鐘：利用原子特性製成的極為精準的時鐘，搭載於衛星上。
- 電離層：高空中帶電粒子較多的一層，會影響電波的傳播方式。
- 多路徑效應：電波經建築物反射，經由多條路徑抵達的現象，是都市地區誤差的主要原因。
高中用算式驗證：百萬分之一秒的誤差，會造成幾公尺的誤差
手機得知自身位置的機制，不是用尺量，而是用時鐘測量。因此「需要多精準的時鐘」，直接決定了精確度。這可以用計算求出。
距離 ＝ 光速 × 時間
| 距離 | 到衛星的間隔［m］ |
| 光速 | 3.0 × 10⁸ m/s |
| 時間 | 電波抵達所花的時間［秒］ |
衛星把「現在幾點」乘載在電波上持續發送。接收端比對自己的時鐘，得知花了幾秒。剩下只要相乘，就能算出距離。
問題在於，相乘的對象是光速。時間上微小的偏差，會變成距離上巨大的偏差。接下來看看到底有多大。
| 時鐘偏差1秒 | 3.0 × 10⁸ ＝ 300000000 m（30萬km） |
| 1毫秒（千分之一秒） | 300000000 ÷ 1000 ＝ 300000 m（300 km） |
| 1微秒（百萬分之一秒） | 300000 ÷ 1000 ＝ 300 m |
| 1奈秒（十億分之一秒） | 300 ÷ 1000 ＝ 0.3 m |
百萬分之一秒的誤差，就會偏差300公尺。換句話說，想定位到「附近的便利商店」，需要十億分之一秒等級的精確度。
手錶一天會誤差幾秒。用這種等級的時鐘，顯示出的位置可能已經偏離地球好幾圈。衛星搭載原子鐘並不是擺好看的，是這道計算逼出來的必然結果。
一旦把十億分之一秒當作問題，平常可以忽略的效應就會顯現出來。衛星的時鐘，走的速度和地面時鐘不一樣。原因有兩個，方向相反。
| 位在重力較弱處，走得較快 | 每天約 ＋45 微秒 |
| 運動速度較快，走得較慢 | 每天約 −7 微秒 |
| 兩者相抵 | 45 − 7 ＝ 每天快 38 微秒 |
用②的表格，馬上能換算成公尺。因為1微秒是300公尺，所以：
| 一天的誤差 | 300 × 38 ＝ 11400 m |
| 換算成公里 | 11400 ÷ 1000 ＝ 11.4 km |
若不修正，一天就會偏差11公里。放著兩天不管就超過20公里，相對論並非「宇宙的話題」，而是不修正它今天的地圖就無法使用的實務問題。
教科書裡讀起來遙遠的理論，其實就是手邊地圖應用程式能運作的條件。唯有實際做過這道乘法，才能真正體會它的意義。
位置由東西、南北、高度3個量決定，看起來3顆衛星就夠了，其實不夠。數一數方程式的數目就能明白原因。
| 想知道的量（未知數） | 東西、南北、高度、自己時鐘的偏差，共4個 |
| 每顆衛星能提供的方程式 | 1條 |
| 所需衛星數 | 4顆 |
未知數有4個，方程式也就需要4條。這和國中、高中學過的聯立方程式，數法完全相同。
而且第4顆衛星，正好能解出自己時鐘的偏差。所以手機不需要原子鐘。用多看一顆衛星，取代搭載準確的時鐘，這正是這套機制巧妙的地方。
在大樓峽谷中位置會偏移，是因為能看到的衛星變少，或電波被牆面反射而繞了遠路才抵達。繞遠路的電波，在①的計算中會被誤判為「更遠」。
高中用數字看看，需要多高的精確度
| 電波（光）的速度 | 約 300,000 km/s ＝ 秒速 3×10⁸ m |
| 1微秒（百萬分之一秒）前進的距離 | 3×10⁸ ÷ 1,000,000 ＝ 300 m |
| 3公尺精確度所需的時間精確度 | 3 ÷ (3×10⁸) ＝ 0.00000001 秒 ＝ 10奈秒（億分之一秒） |
| 衛星高度 | 約 20,000 km |
| 電波抵達所需時間 | 20,000,000 ÷ (3×10⁸) ≒ 0.067 秒 |
為什麼需要4顆，用數學語言來說只要一句話：因為未知數有4個（位置的x、y、z，加上時鐘偏差t），所以需要4條方程式。每顆衛星可以列出1條方程式。
設衛星 i 的位置為 (xᵢ, yᵢ, zᵢ)，測得的時間差為 τᵢ，則
√((x−xᵢ)² + (y−yᵢ)² + (z−zᵢ)²) = c(τᵢ − t)
只要有4條這樣的式子，就能解出 x, y, z, t。實際上會使用更多顆衛星，並考慮誤差，選出最合理的解。
高中＋兩種相對論效應
時鐘走速改變的原因，有兩個。
- 運動越快，時鐘越慢（狹義相對論）。衛星的速度約為秒速3.9公里，這個效應每天約 −7 微秒
- 重力越弱之處，時鐘越快（廣義相對論）。高度2萬公里處重力比地面弱，每天約 +45 微秒
| 合計偏差 | −7 + 45 ＝ 每天 +38 微秒 |
| 換算成距離 | 38 × 300 ＝ 約 11,400 m（約11 km） |
※ 數值為代表性參考值，會因軌道細節而變化。
有趣的是，這兩種效應方向相反，而且並未彼此抵消。如果碰巧完全抵銷，這項技術或許不需要懂相對論也能做出來。
大學決定精確度的因素
定位誤差可以整理成（測距誤差）×（衛星分布造成的放大率）這樣的形式，這個放大率稱為DOP（精度稀釋因子）。
若衛星集中在天空的同一方向，方程式就會充斥「相似的資訊」，導致解不穩定。用數學語言來說，就是係數矩陣的條件變差。分布越分散，越能得到良好的解。
減少誤差的方法也有幾種已建立的作法。
- 使用兩個頻率：電離層造成的延遲會因頻率而異，利用兩個頻率的差可以抵消延遲量。近年的手機也逐漸搭載此功能
- 與基準站取差：與位置已知的接收機同時測量，扣除共通的誤差。可達到公分等級的定位，用於農機自動駕駛與測量
- 利用載波相位：直接數電波波形本身，可達到遠比原本精細的測距，但需要解決「波數是幾個」的不確定性
研究中目前的課題
- 電離層的擾動，目前還無法預測。太陽活動活躍時，電離層會劇烈變動，定位精確度可能大幅下降。事先準確估計太陽閃焰影響的「太空天氣」預報仍在研究中，對航空與測量而言是重要課題。
- 都市地區反射的對策，也還沒有決定性方法。在大樓包圍的地方，直接抵達的電波和反射電波會混在一起。目前正嘗試用相機判斷天空可見範圍、用地圖資料考慮建築物等方法，但還沒有一種方法能在所有街景中都穩定有效。
- 對干擾與假訊號的防範，是個課題。由於衛星電波非常微弱，用強力電波干擾，或發送假訊號讓人誤信錯誤位置，在技術上是可行的。對策正在推進中，但依賴程度越高，影響也越大，因此不依賴衛星的輔助定位手段研究也持續進行。
- 更精準的時鐘，或許會改變下一代的定位技術。比原子鐘精確度更高的時鐘（利用光的時鐘）正逐漸實現。一旦實用化，定位精確度也會提升，但同時「重力不同，時間流逝速度就不同」這件事將無法忽視，關於時刻定義本身的討論也已展開。一個能靠幾公分的高度差測出時鐘走速差異的時代正在逼近。
與教科書的連結（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 本文對應之處 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科・電波與光速／數學・作圖與交點 | 疊合圓圈確定位置的想法 |
| 高中 | 物理基礎・波與速度／數學・空間座標與聯立方程式 | 所需精確度的計算、4個未知數的方程式 |
| 高中＋ | 物理・相對論（許多教科書列為進階內容） | 兩種效應與每天38微秒 |
| 大學 | 定位工程・數值計算・廣義相對論 | DOP、最小平方法、雙頻、載波相位 |
| 研究中 | 太空天氣・定位工程・計量學（未解決） | 電離層預測、都市反射、干擾對策、光鐘 |
- Misra, P. & Enge, P., Global Positioning System: Signals, Measurements, and Performance（定位領域的標準教科書）。
- Ashby, N., Relativity in the Global Positioning System, Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003（相對論修正的詳細說明）。
- 日本內閣府對準天頂衛星系統「引路」（みちびき）的說明。
- 日本情報通信研究機構（NICT，情報通信研究機構）關於太空天氣預報與電離層擾動的資訊。
- 日本國土地理院（国土地理院）關於電子基準點與定位技術的資料。
※ 高度、速度、修正量等數值，會因衛星與軌道而有所差異。本文所示為一般常被引用的代表值。
※本文為一般大眾取向的科學解說。文中數值僅為理解機制所用的參考值，會因條件而有所差異。在戶外操作裝置時，請避免邊走邊使用，並充分注意周遭安全。