Pourquoi le GPS de votre téléphone
connaît-il votre position ?
Le point bleu sur votre écran vous localise à quelques mètres près. Votre téléphone n'émet aucune onde. Il ne fait qu'écouter. S'il connaît votre position, c'est parce qu'il écoute une horloge située à 20 000 km d'altitude et mesure le temps que met le signal à arriver. Et ce système ne fonctionne que grâce à une correction issue de la relativité.
Dans une vaste plaine se dressent plusieurs tours au loin. Chacune sonne une cloche précisément à chaque heure pile.
Vous avez une horloge exacte et pouvez mesurer avec combien de secondes de retard le son de la cloche vous parvient. Comme la vitesse du son est connue, ce retard vous donne la distance jusqu'à la tour.
Si une tour vous indique « 3 km », vous vous trouvez quelque part sur un cercle de 3 km de rayon centré sur elle. Avec une deuxième, puis une troisième tour, les cercles se croisent en un point unique.
C'est exactement ce que fait votre téléphone. Au lieu des tours, il utilise des satellites ; au lieu du son, des ondes radio.
Chaque satellite embarque une horloge extrêmement précise. Il diffuse en permanence cette heure et sa propre position par onde radio. Le téléphone se contente de recevoir.
Les ondes radio se déplacent à la vitesse de la lumière. En multipliant l'écart entre heure d'émission et heure de réception par la vitesse de la lumière, on obtient la distance. Avec plusieurs satellites, la position se réduit à un seul point.
Mais un problème de taille se pose ici : le téléphone n'a pas d'horloge précise. La façon dont ce problème est résolu constitue la partie la plus ingénieuse du système. Voyons cela étape par étape.
Les ondes radio sont plus « lentes » qu'on ne l'imagine
Les ondes radio se déplacent à la vitesse de la lumière : 7 tours et demi de la Terre par seconde. C'est vertigineux, mais pour cet usage, c'est « juste assez lent ».
Les satellites se trouvent à environ 20 000 km d'altitude. L'onde met environ 0,07 seconde à arriver. Mesurer ce temps donne la distance.
Le problème, c'est la précision requise. La lumière parcourt 300 mètres en un millionième de seconde (1 microseconde). Une erreur d'1 microseconde sur la mesure du temps se traduit par une erreur de 300 mètres sur la position. Pour une précision de quelques mètres, il faut mesurer le temps à la dix-milliardième de seconde près.
C'est pourquoi les satellites embarquent des horloges atomiques, qui ne dérivent que d'une seconde tous les dizaines de milliers d'années.
Le téléphone, lui, n'a pas cette horloge
Voilà le problème. Une horloge atomique est grande, coûteuse, et ne tient pas dans un téléphone. L'horloge d'un téléphone ne dérive que de quelques secondes par jour, ce qui est très insuffisant. Une erreur d'une seconde correspond à une erreur de 300 000 kilomètres. Inutilisable.
Alors, comment faire ? On traite le décalage de l'horloge comme une inconnue de plus, à calculer en même temps que le reste.
Comptons ce qu'on cherche à connaître : la position Est-Ouest, la position Nord-Sud, l'altitude. Cela fait déjà trois inconnues. En y ajoutant « de combien l'horloge du téléphone est décalée », cela fait quatre.
S'il y a quatre inconnues, il faut aussi quatre indices. D'où la nécessité d'au moins 4 satellites. Avec 3 seulement, la position n'est pas déterminée.
Et il y a un bonus inattendu : en résolvant le décalage de l'horloge, le téléphone peut recaler la sienne au niveau d'une horloge atomique. Si l'heure de votre téléphone est précise, c'est un sous-produit du calcul de la position.
Ils transmettent seulement une heure précise.
Voici qu'intervient un acteur inattendu : la théorie de la relativité. Elle semble sortie d'un manuel scolaire, mais dans ce système, elle est corrigée au quotidien.
- Le satellite se déplace à grande vitesse, ce qui retarde son horloge par rapport au sol : environ 7 microsecondes par jour
- Le satellite se trouve en altitude, où la gravité est plus faible, ce qui avance son horloge par rapport au sol : environ 45 microsecondes par jour
- Au bilan, l'horloge du satellite avance d'environ 38 microsecondes par jour
38 microsecondes converties en distance donnent environ 11 kilomètres. Sans correction, c'est l'ampleur de l'erreur de position accumulée en une seule journée. Le lendemain, ce serait 22 km. Inutilisable.
En réalité, l'horloge des satellites est volontairement ralentie d'avance avant leur lancement, pour compenser cet effet. Le simple fait que votre application de carte fonctionne constitue une vérification quotidienne de la validité de la relativité.
Et pourtant des erreurs subsistent — d'où viennent-elles ?
- Atmosphère et ionosphère — l'onde radio va à la vitesse de la lumière dans l'espace, mais ralentit légèrement dans l'atmosphère. L'ionosphère, en altitude, a un effet particulièrement important : c'est l'une des principales sources d'erreur
- Réflexions sur les immeubles — en ville, l'onde peut se réfléchir sur un bâtiment avant d'arriver. Le trajet étant plus long qu'en ligne droite, la distance est surestimée. C'est la cause principale des sauts de position en zone urbaine dense
- Disposition des satellites — la précision baisse s'ils sont regroupés dans une même direction du ciel, et s'améliore s'ils sont dispersés. Un peu comme un trépied plus stable quand ses pieds sont bien écartés
- Intérieur des bâtiments — l'onde n'y parvient pas. Si une position s'affiche quand même, c'est grâce à d'autres moyens combinés (voir plus bas)
Si le point bleu apparaît même à l'intérieur d'un bâtiment ou en sous-sol, c'est que le téléphone combine plusieurs indices.
- Les ondes Wi-Fi environnantes — les réseaux visibles sont comparés à une carte constituée à l'avance
- Les antennes-relais du réseau mobile — la zone approximative est déduite de l'antenne à laquelle le téléphone est connecté
- Les capteurs d'accélération et d'orientation — la direction et le nombre de pas depuis la dernière position connue permettent une estimation
Précisons un malentendu fréquent : le positionnement par satellite n'est qu'une réception. Le téléphone n'envoie aucune onde vers les satellites, et ceux-ci ne le localisent pas non plus. Si une information de position est transmise à l'extérieur, c'est parce qu'une application l'envoie via le réseau de communication. Il est utile de distinguer clairement le fonctionnement du système et la question de savoir à qui l'information est transmise.
Ce que vous pouvez vérifier dehors
- Ouvrez une application de carte dans un grand parc ou le long d'une rivière, et observez le point bleu. Restez immobile une minute
- Déplacez-vous ensuite vers une rue étroite bordée d'immeubles, et attendez de même. Le cercle bleu autour du point (indicateur de précision) devrait s'agrandir
- À l'intérieur d'un bâtiment, il peut s'élargir encore davantage, voire faire sauter la position
- Certaines applications affichent le nombre de satellites reçus. Vérifiez comment ce nombre varie selon le lieu
Plus le ciel est dégagé, meilleure est la précision. C'est exactement le principe selon lequel « plus les satellites visibles sont nombreux et dispersés, mieux c'est ». La précision se dégrade en zone urbaine dense car moins de satellites sont visibles, et des ondes réfléchies s'y mêlent. Manipuler son téléphone en marchant est dangereux : arrêtez-vous et restez attentif à votre environnement.
En résumé
Si le téléphone connaît sa position, c'est parce que les satellites diffusent en continu « quelle heure il est », et que le temps de trajet du signal donne une distance. Le téléphone n'ayant pas d'horloge précise, le décalage de l'horloge est résolu comme une inconnue supplémentaire. Cela nécessite au moins 4 satellites, avec le bonus d'obtenir aussi une heure précise.
Mesurer une position, c'est mesurer un temps.
Et le temps varie selon la vitesse et la gravité.
Pour aller plus loin ― vocabulaire, formules, liens avec les programmes scolairesdu collège aux sujets encore en recherche, chaque niveau est indiqué
- Collègeniveau sciences et mathématiques du collège
- Lycéeniveau « physique-chimie » et mathématiques du lycée
- Lycée+niveau physique approfondi du lycée, ou contenu complémentaire des manuels
- Universiténon enseigné au lycée : matières spécialisées universitaires (ingénierie du positionnement, relativité)
- Recherchenon enseigné même à l'université comme un « acquis » : sujets encore en cours d'étude par les chercheurs
CollègeVocabulaire autour du positionnement
- GPS : nom du système de positionnement par satellite exploité par les États-Unis. Il en existe d'autres (Europe, Russie, Chine, Japon), regroupés sous le terme GNSS (système de positionnement par satellite). Un téléphone en utilise plusieurs simultanément.
- Michibiki (QZSS) : système de positionnement japonais. Son orbite le maintient longtemps au-dessus du Japon, ce qui améliore la précision dans un pays aux nombreux immeubles.
- Horloge atomique : horloge extrêmement précise fondée sur les propriétés des atomes, embarquée dans les satellites.
- Ionosphère : couche de l'atmosphère riche en particules chargées, qui influence la propagation des ondes radio.
- Multitrajet : phénomène où l'onde radio, réfléchie sur des bâtiments, arrive par plusieurs chemins. C'est la principale cause d'erreur en zone urbaine.
LycéeVérification par le calcul : à quelle erreur de distance correspond un décalage d'un millionième de seconde
Le système par lequel un téléphone connaît sa position ne mesure pas avec une règle, mais avec une horloge. La précision de l'horloge nécessaire détermine donc directement la précision obtenue. On peut le calculer.
distance = vitesse de la lumière × temps
| distance | distance jusqu'au satellite [m] |
| vitesse de la lumière | 3,0 × 10⁸ m/s |
| temps | temps de trajet de l'onde [secondes] |
Le satellite diffuse en continu « quelle heure il est » dans son signal. Le récepteur compare cette heure à sa propre horloge pour connaître le temps écoulé. Il suffit ensuite de multiplier pour obtenir la distance.
Le problème, c'est que le facteur multiplicateur est la vitesse de la lumière. Un écart de temps infime se traduit par un grand écart de distance. Voyons l'ampleur du phénomène ci-dessous.
| Si l'horloge dérive d'1 seconde | 3,0 × 10⁸ = 300 000 000 m (300 000 km) |
| 1 milliseconde (millième de seconde) | 300 000 000 ÷ 1000 = 300 000 m (300 km) |
| 1 microseconde (millionième de seconde) | 300 000 ÷ 1000 = 300 m |
| 1 nanoseconde (milliardième de seconde) | 300 ÷ 1000 = 0,3 m |
Une dérive d'un millionième de seconde entraîne une erreur de 300 m. Pour localiser « la supérette la plus proche », il faut donc une précision d'un milliardième de seconde.
Une montre dérive de quelques secondes par jour. Avec une telle horloge, la position affichée serait décalée de plusieurs tours de Terre. Si les satellites embarquent des horloges atomiques, ce n'est pas un luxe : c'est ce calcul qui l'exige.
Dès qu'on raisonne au milliardième de seconde, ce qui est habituellement négligeable devient significatif. L'horloge du satellite n'avance pas à la même vitesse que celle du sol. Il y a deux raisons, de sens opposés.
| Gravité plus faible en altitude → avance | environ +45 microsecondes par jour |
| Vitesse de déplacement élevée → retard | environ −7 microsecondes par jour |
| Bilan | 45 − 7 = 38 microsecondes/jour d'avance |
Avec le tableau du ②, on convertit facilement cela en distance. Puisqu'1 microseconde = 300 m,
| Erreur cumulée sur une journée | 300 × 38 = 11 400 m |
| Converti en kilomètres | 11 400 ÷ 1000 = 11,4 km |
Sans correction, l'erreur atteint 11 km par jour. Laissé deux jours, cela dépasse 20 km. La relativité n'est pas une « affaire d'espace » : sans cette correction, votre carte d'aujourd'hui ne fonctionnerait pas.
Une théorie qui paraît lointaine dans un manuel est en fait une condition de fonctionnement de l'application de carte que vous avez en main. Ce n'est qu'en faisant ce calcul qu'on en saisit vraiment la portée.
La position étant déterminée par 3 grandeurs (Est-Ouest, Nord-Sud, altitude), 3 satellites semblent suffire. Ce n'est pas le cas. La raison apparaît en comptant les équations.
| Inconnues recherchées | Est-Ouest, Nord-Sud, altitude, et décalage de l'horloge : soit 4 |
| Équations fournies par un satellite | 1 |
| Nombre de satellites nécessaires | 4 |
Avec 4 inconnues, il faut 4 équations : exactement le même comptage que pour les systèmes d'équations vus au collège et au lycée.
Et c'est le 4ᵉ satellite qui permet de résoudre le décalage de l'horloge. C'est pourquoi le téléphone n'a pas besoin d'horloge atomique. Au lieu d'embarquer une horloge précise, on observe un satellite de plus. C'est là toute l'ingéniosité du système.
Si la position dérive dans les rues entre immeubles, c'est parce que moins de satellites sont visibles, ou parce que l'onde se réfléchit sur les murs et parcourt un trajet plus long. Une onde ayant fait un détour est alors interprétée, dans le calcul du ①, comme provenant d'un point « plus lointain ».
LycéeChiffres clés : la précision nécessaire
| Vitesse de l'onde (lumière) | environ 300 000 km/s = 3×10⁸ m/s |
| Distance parcourue en 1 microseconde (millionième de seconde) | 3×10⁸ ÷ 1 000 000 = 300 m |
| Précision temporelle requise pour 3 mètres de précision | 3 ÷ (3×10⁸) = 0,00000001 s = 10 nanosecondes (dix-milliardième de seconde) |
| Altitude du satellite | environ 20 000 km |
| Temps de trajet de l'onde | 20 000 000 ÷ (3×10⁸) ≈ 0,067 s |
Pourquoi 4 satellites s'exprime aussi en une ligne mathématique. Il y a 4 inconnues (position x, y, z et décalage d'horloge t), donc 4 équations sont nécessaires. Chaque satellite fournit une équation.
Notons la position du satellite i par (xᵢ, yᵢ, zᵢ), et l'écart de temps mesuré par τᵢ, alors :
√((x−xᵢ)² + (y−yᵢ)² + (z−zᵢ)²) = c(τᵢ − t)
Avec 4 équations de ce type, on résout x, y, z, t. En pratique, on utilise davantage de satellites et l'on choisit la solution la plus vraisemblable, en tenant compte des erreurs.
Lycée+Les deux effets relativistes
Deux raisons expliquent que le rythme de l'horloge change.
- Le mouvement rapide ralentit une horloge (relativité restreinte). La vitesse du satellite est d'environ 3,9 km/s, ce qui donne un effet d'environ −7 microsecondes par jour
- Une gravité plus faible accélère une horloge (relativité générale). À 20 000 km d'altitude, la gravité est plus faible qu'au sol, d'où environ +45 microsecondes par jour
| Effet cumulé | −7 + 45 = +38 microsecondes par jour |
| Converti en distance | 38 × 300 = environ 11 400 m (environ 11 km) |
※ Ces valeurs sont des ordres de grandeur représentatifs ; elles varient selon les détails de l'orbite.
Il est intéressant de noter que ces deux effets s'opposent sans se compenser exactement. S'ils s'étaient annulés par coïncidence, cette technologie aurait peut-être pu être conçue sans connaître la relativité.
UniversitéCe qui détermine la précision
L'erreur de positionnement s'exprime sous la forme (erreur de mesure de distance) × (facteur d'amplification lié à la disposition des satellites). Ce facteur d'amplification est appelé DOP (dilution de la précision).
Si les satellites sont regroupés dans une même direction du ciel, les équations deviennent « redondantes » et la solution devient instable — mathématiquement, la matrice des coefficients est mal conditionnée. Plus les satellites sont dispersés, meilleure est la solution.
Plusieurs méthodes établies permettent de réduire l'erreur.
- Utiliser deux fréquences : le retard dû à l'ionosphère diffère selon la fréquence, si bien que la différence entre deux fréquences permet de l'annuler. Cette technique se répand dans les téléphones récents
- Différentiel avec une station de référence : en mesurant simultanément avec un récepteur de position connue, on soustrait les erreurs communes. Cela permet un positionnement au centimètre près, utilisé pour la conduite automatisée en agriculture ou l'arpentage
- Utiliser la phase de la porteuse : compter directement les oscillations de l'onde permet une mesure de distance bien plus fine, au prix de devoir résoudre une ambiguïté sur « combien de cycles complets » se sont écoulés
RechercheLes défis actuels
- Prédire les perturbations ionosphériques reste impossible aujourd'hui. Lors d'une forte activité solaire, l'ionosphère fluctue violemment et la précision du positionnement peut chuter fortement. La prévision de « météo spatiale », visant à anticiper avec précision l'effet des éruptions solaires, est un enjeu de recherche en cours, crucial pour l'aviation et l'arpentage.
- Aucune solution définitive n'existe non plus contre les réflexions en zone urbaine. Dans les rues bordées d'immeubles, l'onde directe se mélange à des ondes réfléchies. Des méthodes sont testées — analyse de la portion de ciel visible par caméra, prise en compte des bâtiments via des données cartographiques — mais aucune ne fonctionne encore de façon fiable pour tous les types de paysages urbains.
- La protection contre le brouillage et les faux signaux est un enjeu majeur. Le signal des satellites étant très faible, il est techniquement possible de le brouiller avec une onde puissante, ou de faire croire à une fausse position via un faux signal. Les parades progressent, mais plus la dépendance à ce système grandit, plus l'impact d'une attaque serait important, d'où la poursuite des recherches sur des moyens de positionnement complémentaires ne dépendant pas des satellites.
- Des horloges encore plus précises pourraient transformer le positionnement de demain. Des horloges dépassant encore la précision des horloges atomiques (fondées sur la lumière) commencent à voir le jour. Leur mise en pratique améliorerait la précision du positionnement, mais rendrait aussi impossible à négliger le fait que « le temps s'écoule différemment selon la gravité », ce qui ouvre un débat sur la redéfinition même de la mesure du temps. Une époque où l'on pourra mesurer l'écoulement du temps sur une différence d'altitude de quelques centimètres approche.
Liens avec les programmes scolaires (par niveau)
| Niveau | Matière / thème | Partie de l'article concernée |
|---|---|---|
| Collège | Sciences · ondes et vitesse de la lumière / Mathématiques · constructions géométriques et intersections | Le principe de la position déterminée par des cercles superposés |
| Lycée | Physique-chimie · ondes et vitesse / Mathématiques · coordonnées spatiales et systèmes d'équations | Le calcul de la précision requise, les équations à 4 inconnues |
| Lycée+ | Physique · théorie de la relativité (souvent en contenu complémentaire) | Les deux effets et les 38 microsecondes par jour |
| Université | Ingénierie du positionnement · calcul numérique · relativité générale | DOP, moindres carrés, double fréquence, phase de la porteuse |
| Recherche | Météo spatiale · ingénierie du positionnement · métrologie (non résolu) | Prévision ionosphérique, réflexions urbaines, protection contre le brouillage, horloges optiques |
- Misra, P. & Enge, P., Global Positioning System: Signals, Measurements, and Performance (manuel de référence sur le positionnement).
- Ashby, N., Relativity in the Global Positioning System, Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003 (détail des corrections relativistes).
- Présentation par le Cabinet du Premier ministre japonais du système de positionnement quasi-zénithal « Michibiki ».
- Informations du National Institute of Information and Communications Technology (NICT, 情報通信研究機構) sur la prévision météo spatiale et les perturbations ionosphériques.
- Documents de la Geospatial Information Authority of Japan (国土地理院) sur les stations GNSS permanentes et les technologies de positionnement.
※ Les valeurs d'altitude, de vitesse et de correction varient selon les satellites et les orbites. Cet article présente des valeurs représentatives couramment citées.
※ Cet article est une vulgarisation scientifique destinée au grand public. Les valeurs indiquées visent à faciliter la compréhension du principe et peuvent varier selon les conditions. Lors de la manipulation d'un appareil à l'extérieur, évitez de l'utiliser en marchant et restez attentif à votre sécurité.