水龍頭的水，為什麼往下流會變細？
― 水並沒有減少，只是變急了
把水龍頭稍微打開，水柱在出口處最粗，愈往下愈細。途中水並沒有憑空消失。因為水愈落愈快，同樣的水量，用更細的通道就夠了。而變細的水柱，最後會靠自己的力量斷成一顆顆水珠。
為了在杯子裡裝水，你輕輕轉開廚房的水龍頭。流出來的水像玻璃棒一樣透明，甚至看起來像靜止不動。
仔細一看，這根「棒子」根部較粗，愈往下愈細。靠近水槽底部的地方，表面有時會變得凹凸不平，啪啦啪啦地散成一顆顆水珠。
雖然每天都看得到，卻很少有人解釋過原因。
原因只有兩個
水龍頭每秒流出的水量，在每個高度都是相同的。愈往下水流得愈快，所以要運送同樣的水量，用細一點的水柱就夠了。
水的表面會盡量收縮，讓面積變小。細長的水柱表面積相對浪費，所以收縮的地方會愈來愈明顯，最後斷裂成水珠。
第一點是「形狀變細」的原因，第二點是「最後斷裂」的原因。讓我們依序來看。
變快多少，就變細多少
水龍頭的水，途中既不會增加也不會減少。流出出口的水，過了一秒後一定會經過稍微下面一點的位置。所以不論是在出口、下方10公分還是20公分處，每秒通過的水量都是一樣的。
但是，水在下落時會愈來愈快。流得快的水，用細一點的通道也能運送同樣的水量。這就像馬路上，車速愈快的路段，車與車之間的間距愈大一樣。只不過水不是拉開間距，而是水柱本身變細。
請試著用圖1的滑桿，改變水龍頭的開度（出口處水的速度）。愈輕輕地放水，出口之後加速的比例就愈大，水柱就會變得很細。若用力放水，因為原本速度就快，落下後速度的比例變化不大,水柱幾乎是直的。
當出口粗細為1公分、速度為每秒0.5公尺時，落下20公分後速度會變成約4倍。截面積會變成4分之1，粗細（直徑）則約為一半。圖1的初始值正是這個狀態。
細水柱會自己斷成水珠
水的表面存在著像橡膠膜一樣想要收縮的力量，這就是表面張力。同樣水量下，比起細長的水柱，圓形的水珠表面積更小。
水柱表面因水龍頭的微小振動等因素，一直存在著肉眼看不見的微小波動。收縮較緊的地方表面曲率較大，向內擠壓的力量也較強。被擠出的水會逃向膨脹的部分，使收縮處愈來愈細（圖2）。
如圖2下方所示，水柱斷裂後會排成一顆顆圓形水珠。水珠之間常常會夾著非常小的水珠。落下的水柱愈細（原因1），表面張力的作用相對就愈強。所以放得愈輕、水流愈細，就會在愈短的距離內變成水珠。
把水龍頭開大，水柱就會失去像玻璃棒一樣的透明感，看起來白濁而粗糙。這是因為出口內的水流變得紊亂，表面產生細小波動,把光線向四面反射。想看到透明的水柱，訣竅是把水龍頭開到很小。
液柱以固定間隔斷裂成水珠的特性，曾被部分印表機用來讓墨滴整齊地噴出。廚房水槽裡看得到的現象，也成為了製造工具的原理。
總結
水龍頭的水愈往下愈細，並不是因為水變少了，而是因為落下後變快了。只要每秒通過的水量相同，速度愈快的地方，用愈細的水柱就夠了。而變細的水柱，會因表面張力而收縮，最後分裂成水珠。
水愈急,就愈細。
細到極限的水，會自己蜷縮成水珠。
關於表面張力造就「圓形」的故事，請見用方形框吹肥皂泡，為什麼還是會變圓？；關於倒水時液體沿著外側滴落的話題，請見從水壺慢慢倒水時，為什麼液體會沿著外側滴落？，裡面有更詳細的介紹。
- 把水龍頭開到非常細，做出透明的水柱。把尺立在水流後面，比較出口正下方與下方約15公分處的粗細。
- 把水龍頭一點一點開大，觀察水柱變細的幅度逐漸變緩（和圖1滑桿往右移動時一樣）。
- 用手機的慢動作錄影功能，拍攝靠近水槽底部的位置。有時可以拍到水柱收縮、斷成水珠的瞬間。
不要讓水一直流著，驗證完畢請馬上關掉。在較暗的背景前，從側面打光會比較容易觀察。
想知道更多 ― 用語、公式與教科書的關聯從國中理化到大學專業科目，會清楚標示屬於哪個程度
- 國中國中自然科學習的範圍
- 高中高中「物理」學習的範圍
- 高中＋高中的延伸內容，或教科書專欄介紹的內容
- 大學高中不會教、屬於大學專業科目（流體力學）的內容
- 研究中即使在大學也還不是「定論」，是研究者目前仍在探討的內容
國中用語：這個現象是有名稱的
- 流量：每秒通過某個截面的水的體積。只要途中水量不增不減，在任何高度都相同。
- 自由落體：只受重力作用而下落的運動。速度會隨著時間增加。
- 表面張力：液體表面想要縮小面積的性質。這是水珠會變圓的原因。
國中高中用公式驗證：落下20公分後，水柱會變多細？
計算出口粗細1公分、出口速度每秒0.5公尺的細水流，落下20公分後的粗細。
| 用符號表示 | A₀ × v₀ ＝ A × v 、 v ＝ √( v₀² ＋ 2 × g × h ) 、 d ＝ d₀ × √( v₀ ÷ v ) |
| 用文字表示 | （截面積 × 速度）在任何高度都相同。落下後的速度由出口速度與下落高度決定。粗細（直徑）會依速度比例的平方根成比例地變細。 |
| 公式的由來 | 第一個來自水在途中不增不減（質量守恆＝連續方程式）。第二個來自下落過程中位能轉換為動能（能量守恆）。由於截面積與直徑的平方成正比，便得出第三個公式。 |
| 符號 | 意義與單位 |
|---|---|
| A₀、A | 出口處與落下後水柱的截面積（平方公尺） |
| v₀、v | 出口處與落下後水的速度（公尺/秒） |
| d₀、d | 出口處與落下後水柱的粗細（直徑，公分） |
| g | 重力加速度（約 9.8 公尺/秒²） |
| h | 從出口落下的高度（公尺） |
| 出口粗細 | 1 公分 |
| 出口速度 | 每秒 0.5 公尺 |
| 落下高度 | 20 公分（0.2 公尺） |
| 重力加速度 | 9.8 公尺/秒² |
| 2 × 重力加速度 | 2 × 9.8 ＝ 19.6 |
| 乘上下落高度 | 19.6 × 0.2 ＝ 3.92 |
| 出口速度的平方 | 0.5 × 0.5 ＝ 0.25 |
| 相加 | 0.25 ＋ 3.92 ＝ 4.17 |
| 落下後的速度 | 4.17 的平方根約為 2.04（每秒約2公尺） |
| 速度變成幾倍 | 2.04 ÷ 0.5 ≒ 4.1 |
| 截面積變成幾分之一 | 1 ÷ 4.1 ≒ 0.24 |
| 粗細比例 | 0.24 的平方根約為 0.49 |
| 20公分下方的粗細 | 1 × 0.49 ＝ 0.49（公分） |
只要落下20公分，速度就會變成約4倍，截面積約為4分之1，粗細則幾乎變成一半、約5公釐。這就是為什麼在流到水槽的短短距離裡，水柱會明顯變細。
高中高中＋速度與粗細的關係，再深入一點
高中下落速度的公式，正是等加速度運動的「v² − v₀² ＝ 2gh」。一般認為在這種速度與距離下，空氣阻力幾乎可以忽略。水柱的各個部分，只是離開出口的時間不同，進行的都是相同的落體運動。
高中＋出口速度愈小，落下後的速度比就愈大，水柱也就愈細。反之，出口速度愈大，比例愈接近1，水柱幾乎不會變細。圖1滑桿顯示的差異，就是這個比例的差異。此外，管內及出口附近的水流,也可以直接套用「白努利定理」。
大學水柱斷裂成水珠的機制：普拉托－瑞利不穩定性
液柱收縮分裂成水珠的現象，在流體力學中稱為「普拉托－瑞利不穩定性」（Plateau–Rayleigh instability）。19世紀由普拉托以實驗、瑞利勳爵以理論進行研究。只有波長長於水柱周長的凹凸會持續成長，成長最快的波長約為水柱半徑的9倍。因此生成的水珠大小幾乎由水柱粗細決定，直徑約為水柱直徑的不到2倍。表示表面張力與慣性平衡的「韋伯數」,以及表示黏滯力作用的「歐內佐格數」，可用來整理斷裂的方式。
📖 公式推導與更進階的內容：連續方程式（日文維基百科） ／ 普拉托－瑞利不穩定性（英文維基百科）
研究中目前尚未完全釐清的事
- 斷裂位置的預測 水柱斷裂成水珠的位置，會受到水龍頭振動或空氣流動等極微小擾動的影響。要在實際的水槽中精準預測「在幾公分下方斷裂」，至今仍不是件簡單的事。
- 斷裂瞬間的行為 收縮處變細即將斷裂前，理論上頸部粗細會趨近於零。那一瞬間的形狀與速度變化，作為數學上的奇異點，至今仍持續被研究。
- 小水珠的生成 大水珠之間生成的小水珠（衛星液滴），要如何避免產生，在印刷與藥物製造領域也是重要課題。
也就是說，這篇文章的內容，也只是「目前已知範圍內」的說明。每天家中水槽的水，也還留著尚未解開的謎題。
與教科書的關聯（依程度）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文何處 |
|---|---|---|
| 國中 | 自然科「運動與能量」 | 落得愈快 |
| 高中 | 物理「等加速度直線運動」「力學能守恆」 | 20公分下方速度的計算 |
| 高中＋ | 物理（延伸）「流體・白努利定理」 | 連續方程式與水柱粗細 |
| 大學 | 流體力學「界面不穩定性」 | 水柱斷裂成水珠的機制 |
| 研究中 | 界面流體力學・液滴生成 | 斷裂位置・衛星液滴 |
| ― | 與生活的連結 | 水龍頭開度・墨滴・噴霧 |
- 維基百科「連続の方程式」（連續方程式，日文版）
- 維基百科「表面張力」（日文版）
- Wikipedia, "Plateau–Rayleigh instability"
- J. Eggers, "Nonlinear dynamics and breakup of free-surface flows", Reviews of Modern Physics 69, 865 (1997)
- Lord Rayleigh, "On the instability of jets", Proceedings of the London Mathematical Society 10, 4–13 (1878)
※本文為大眾科學解說。文中數值僅為幫助理解原理的概略估算。實際的水柱粗細與斷裂位置，會因水龍頭形狀與水壓而有所不同。