大黃蜂依計算根本飛不起來，是真的嗎？
― 飛不起來的，是把翅膀當成飛機機翼的那個計算
「圓滾滾的身體配上小小的翅膀。依科學計算，大黃蜂應該飛不起來，卻偏偏飛得好好的。」你聽過這種說法嗎？先說結論：這是個迷思。錯的不是蜂，而是以前的計算，它把拍動的翅膀當成了「不會動的飛機機翼」。
秋天的晴天，花圃裡的大波斯菊旁，來了一隻全身覆滿黑黃絨毛的圓滾滾蜜蜂。牠發出低沉的嗡嗡聲，慢吞吞、看起來很吃力地從一朵花飛到另一朵花。
仔細一看，和身體比起來，牠的翅膀非常小，薄得幾乎透明。這樣真的能把身體抬起來嗎？不禁讓人覺得奇怪。
「科學家一算，答案是飛不起來」，這個說法在雜誌和演講中一再被提起。那麼，那個計算到底錯在哪裡呢？
計算忽略的，只有兩件事
翅膀推動空氣的力，取決於翅膀相對於空氣的移動速度。蜂的身體就算前進得很慢，翅膀每秒也要來回拍一百多次，切開空氣的速度比身體快上許多。
翅膀以很陡的角度揮動時，翅膀前緣會形成一個小渦流。這個渦流停留在翅膀上方，產生的力比用不會動的機翼理論算出來的還要大。
這兩點，都是直接套用飛機機翼的想法時會漏掉的部分。我們依序來看。
推起翅膀的力，隨速度的平方變大
在空氣中移動一塊板子，板子會受到反推的力。想想看搧扇子的情形：慢慢搧和用力搧，手上的感覺差很多。搧得越快，手感就越沉重。
這個力在速度變成 2 倍時會變成 4 倍，因為它和速度的平方成正比。所以只要稍微低估「翅膀撞上空氣的速度」，算出來的力就會大幅縮水。
據說大黃蜂的翅膀每秒來回約 150～200 次。翅膀中段的一點，每次來回會移動幾公分。合起來算，翅膀切開空氣的速度大約是每秒 5 公尺。不管蜂是在慢慢飛，還是停在半空中，這個數字都不會變。
請看圖 1。用滑桿改變翅膀的速度，翅膀產生的力的長條就會跟著改變。以每秒 1 公尺左右來算，兩條長條都遠遠碰不到代表體重的虛線。把速度拉到每秒 5 公尺，只有拍動翅膀的那條長條會超過虛線。
渦流「停留」在翅膀上方
飛機的機翼在以淺角度迎向空氣時，出力最大。角度太陡的話，空氣會從機翼表面剝離，力量驟降，這叫做失速。
然而昆蟲的翅膀，是以 40 度上下的陡角度揮動，這個角度對飛機來說早就失速了。力量卻沒有掉下來，是因為翅膀前緣產生的渦流，會暫時黏在翅膀的上表面。
渦流中心的氣壓很低。低壓的區域就在翅膀上方，所以翅膀會被往上吸。圖 2 的右側就是這個情形。不會動的機翼則像左側那樣，渦流剝離後往後流走，力量無法持續。
拍翅是來回的運動，翅膀每來回一次就會停下、轉向。渦流還沒完全剝離，下一次揮動就開始了，所以這個機制能不間斷地重複下去。
據說 1934 年在法國出版的一本談昆蟲飛行方式的書裡，有一段寫到和工程師一起計算後，得出「應該飛不起來」的結論。那是把翅膀當成飛機機翼的粗略估算。後來這被誇大成「連科學也解釋不了」的說法而流傳開來。
前緣渦流被明確證實，出乎意料地晚，是 1990 年代的事。研究者用煙觀察大型蛾類的飛行，也在油裡揮動大型機器翅膀來測量力，才終於用數字說明了「為什麼力夠用」。
總結
「大黃蜂依計算飛不起來」，不是蜂的謎團，而是計算前提的錯誤。它低估了翅膀實際切開空氣的速度，也沒有考慮到即使在陡角度下，渦流也能產生力。用正確的前提來算，蜂的翅膀其實撐得起體重。
飛不起來的，不是蜂，而是那個計算。
小小的翅膀，靠速度和渦流把身體抬起來。
飛機機翼為什麼能浮起來，請看〈飛機為什麼會飛？〉；同樣利用前緣渦流、邊旋轉邊落下的種子，請看〈楓樹的種子為什麼會轉著圈落下？〉。小生物對空氣和水的感受是什麼樣子，也可以讀讀〈對水蚤來說，水為什麼像「蜂蜜」一樣黏稠？〉。
- 用扇子以每秒 1 次的慢速揮動，記住手上的感覺。接著以每秒 2 次的速度、相同的幅度揮動。手感不是 2 倍，而是會覺得重得多。
- 手持墊板，分別以接近水平的角度和約 40 度的陡角度，快速向前推出。陡角度的那一次，在短時間內會感到較大的阻力。
- 晴天到花圃找大黃蜂，觀察牠停在半空中挑選花朵的瞬間。身體雖然不動，翅膀卻模糊一片，可見牠一直在快速振動。
大黃蜂的性情溫和，但畢竟是蜂類。請不要用手去碰，也不要靠近蜂巢。觀察時請保持一小段距離。
想知道更多的人 ― 術語、公式與課本的關聯從國中理化到大學專業課程，明確標示每一段屬於哪個程度
- 國中國中理化學到的範圍
- 高中高中「物理」學到的範圍
- 高中＋高中的進階內容，或課本專欄的內容
- 大學高中沒學過、大學專業課程（流體力學、生物物理學）的內容
- 研究連大學也不當成「定論」來教、目前研究者還在探討的話題
國中術語：這個現象是有名字的
- 升力：在流體中移動的物體，在與運動方向垂直的方向上受到的力。就是把翅膀或機翼抬起來的力。
- 失速：機翼角度太陡，空氣從表面剝離，升力驟降的現象。
- 前緣渦流：在翅膀前緣產生、停留在翅膀上表面的渦流。是拍翅昆蟲得到大升力的來源。
國中高中用公式驗證：翅膀需要多大的「出力效率」
我們用升力公式，求出要撐起蜂的體重，翅膀得有多高的出力效率。表示這個效率的數叫做升力係數，符號是 CL。數值以大黃蜂的工蜂為設想的估計值。
| 用符號寫 | L ＝ ½ × ρ × v² × S × CL （要浮起來需 L ＝ m × g） |
| 用文字寫 | 升力 ＝ ½ × 空氣密度 × 翅膀速度的平方 × 翅膀面積 × 升力係數 |
| 這個公式從哪來 | 來自移動的翅膀每秒推開的空氣的動量變化。½ × ρ × v² 稱為動壓，與速度的平方成正比。 |
| 符號 | 意義與單位 |
|---|---|
| L | 升力（N，牛頓） |
| ρ | 空氣密度（kg/m³） |
| v | 翅膀切開空氣的速度（m/s） |
| S | 翅膀面積（m²） |
| CL | 升力係數（無單位。由翅膀的形狀、角度與氣流方式決定） |
| 身體重量（工蜂的估計值） | 約 0.2 公克 ＝ 0.0002 kg |
| 重力加速度 | 9.8 m/s² |
| 空氣密度 | 1.2 kg/m³ |
| 4 片翅膀的面積合計（估計值） | 約 1 cm² ＝ 0.0001 m² |
| 翅膀中段切開空氣的速度（估計值） | 每秒約 5 m |
| 體重（需要撐起的力） | 0.0002 × 9.8 ＝ 0.00196 N |
| 速度的平方 | 5 × 5 ＝ 25 |
| ½ × 空氣密度 | 0.5 × 1.2 ＝ 0.6 |
| 動壓 | 0.6 × 25 ＝ 15 Pa |
| 動壓 × 翅膀面積 | 15 × 0.0001 ＝ 0.0015 N |
| 需要的升力係數 | 0.00196 ÷ 0.0015 ≒ 1.3 |
需要的升力係數約為 1.3。把小翅膀當成不會動的機翼時，可用的升力係數大約只有 0.8 上下，並不夠。這就是「飛不起來」這個計算的真面目之一。另一方面，有前緣渦流的拍動翅膀，在模型實驗中已證實能達到接近 2，所以綽綽有餘。
| 速度取每秒 1 m 時的動壓 | 0.6 × 1 ＝ 0.6 Pa |
| 動壓 × 翅膀面積 | 0.6 × 0.0001 ＝ 0.00006 N |
| 需要的升力係數 | 0.00196 ÷ 0.00006 ≒ 33 |
升力係數 33，是任何機翼都不可能達到的值。只是把速度低估成 5 分之 1，需要的值就膨脹成 25 倍。翅膀速度有沒有代入正確，會讓答案分成「輕鬆飛得起來」和「絕對飛不起來」。
高中高中＋速度的平方，與渦流的氣壓
高中流體施加在物體上的力與速度的平方成正比，是因為每秒撞上去的空氣量，以及那些空氣帶有的速度，兩者都和速度成正比。量和速度相乘，所以變成平方。
高中＋渦流中心氣壓下降，可以用白努利定理來說明：空氣轉得越快的地方，壓力越低。前緣渦流在翅膀上表面形成低壓區，把翅膀往上吸。
大學非定常空氣動力學與前緣渦流的穩定
處理翅膀來回運動、流場隨時間變化這類情況的領域，叫做非定常空氣動力學。在昆蟲飛行中，據說前緣渦流造成的延遲失速、折返瞬間翅膀的轉動、重新捕捉上一次揮動殘留渦流的效應等會同時疊加。在昆蟲的尺度下，表示流動性質的雷諾數是數百到數千。這比飛機的數百萬小得多，黏性的效果不能忽略。
📖 公式的推導與更進一步的內容：升力（維基百科） ／ 雷諾數（維基百科）
研究目前還不清楚的事
- 渦流為什麼能不剝離、一直停留？ 有一種說法是，從翅膀根部往外的氣流，把渦流的能量往外帶走，但詳細的機制至今仍在討論。
- 有彈性的翅膀所扮演的角色。 真正的翅膀每次拍動都會扭轉、彎曲。這對出力的方式與節省能量有什麼影響，仍在研究中。
- 在風雨中的飛行方式。 實際在野外會遇到陣風和雨滴。蜂當時如何重新調整姿勢，研究還在進行。
也就是說，這篇文章的內容也只是「就目前所知範圍內的說明」。模仿昆蟲翅膀的小型飛行器研究也有進展，反過來也讓我們對昆蟲的飛行方式有更深的理解。
與課本的關聯（依程度）
| 程度 | 科目・單元 | 文章中的哪裡 |
|---|---|---|
| 國中 | 理化「力的作用」 | 翅膀推動空氣，並受到反推的力 |
| 高中 | 物理「動量與衝量」 | 力與速度平方成正比的原因 |
| 高中＋ | 物理（進階）白努利定理 | 渦流中心氣壓下降 |
| 大學 | 流體力學・生物物理學 | 非定常空氣動力學、雷諾數 |
| 研究 | 生物飛行的研究 | 前緣渦流的穩定、有彈性翅膀的效果 |
| ― | 與生活的關聯 | 聽到「計算上辦不到」時，先懷疑計算的前提 |
- Ellington, C. P., van den Berg, C., Willmott, A. P. (1996) Leading-edge vortices in insect flight. Nature 384
- Dickinson, M. H., Lehmann, F.-O., Sane, S. P. (1999) Wing rotation and the aerodynamic basis of insect flight. Science 284
- Magnan, A. (1934) Le vol des insectes. Hermann.
- 揚力 (升力) - ウィキペディア (維基百科)
※本文是寫給一般讀者的科學解說。文中數值是為了幫助理解機制的估計值與概算。蜂的體重、翅膀大小與拍動次數，會因種類和個體而有很大差異。