水中的小顆粒，為什麼一直抖個不停？
― 有科學家測量顫動的幅度，數出了看不見的原子
把牛奶稀釋後放到顯微鏡下看，白色的顆粒會一直小幅度地晃動。明明沒有風，也沒有水流。這種顫動叫做「布朗運動」，成為水是由看不見的分子聚集而成的鐵證。直到 100 年前，大家還在懷疑原子「是否真的存在」。
上自然課時，你把一滴用水稀釋過的牛奶滴在玻璃片上，放到顯微鏡下觀察。放大倍率調高後，會看到許多小小的圓形顆粒。
仔細看，每一顆都靜不下來。往右一點、往上一點，又往左一點。就像活的生物一樣，毫無規則地顫動。
牛奶的顆粒並不是活的。那麼，是什麼在推動它們呢？這個問題花了大約 80 年才有答案。
一直顫動的原因，只有兩個
水是由無數極小的分子到處飛來飛去所組成的。顆粒不斷被撞擊，只要左右兩邊的撞擊次數稍微有點偏差，顆粒就會被推動。
每次被推的方向都是隨機的，所以顆粒會來回打轉。就算等上 4 倍的時間，離原位置的偏離也只有 2 倍。這個性質正是數原子的關鍵。
第一點說明「為什麼會顫動」，第二點說明「怎麼顫動」。接下來，我們沿著發現的歷史，依序來看。
植物學家發現的「像活著一樣」的運動
1827 年，英國植物學家羅伯特・布朗把花粉泡在水中，用顯微鏡觀察。他看到從花粉中跑出來的更小顆粒，一刻不停地顫動著。
布朗起初以為，這可能是與生命有關的運動。於是他拿乾燥多年的植物標本來試，顆粒還是會動。他又把玻璃和岩石磨成細粉來試，據說顆粒照樣在動。
這樣一來，布朗確定顫動與生物無關。不過，為什麼會動，他還是不知道。之後約 80 年間，各種說法陸續出現又消失，例如水的溫度不均、水流、光的熱等等。
當時的科學家中，不少人認為原子和分子只是方便計算的「想像」。因為沒有人看過任何一個分子。
愛因斯坦的預言，與佩蘭耐心的測量
1905 年，當時還在專利局上班、年僅 26 歲的愛因斯坦發表了一篇論文。內容是：「如果水是由分子組成的，那麼漂浮的顆粒一定會顫動，而且它的擴散方式可以計算出來。」
關鍵在於，他指出該測的不是顆粒的「速度」，而是「偏離的擴大」。據說，先前的研究者想測顆粒的速度，卻每次測出不同的值而傷透腦筋。
顆粒會不斷細碎地改變方向，所以光是改變觀察的時間間隔，測出的速度就會不同。請看圖 1。左邊是顆粒走過路徑的例子，右邊是偏離大小與時間的關係。
用滑桿改變等待的時間，左邊的虛線圓圈（偏離的參考值）就會變大。不過，就算時間變成 10 倍，圓圈也只會變成約 3 倍。
用實驗驗證這個預言的，是法國物理學家尚・佩蘭。佩蘭用一種叫藤黃的樹脂，做出大小一致的小球。據說他反覆進行離心分離，才終於讓大小整齊。
接著他在顯微鏡下，每隔一定時間就記錄顆粒的位置。結果發現，偏離的擴大正如愛因斯坦的式子所說，是依時間的平方根增加。而且從這個幅度，還能反推出一定量的水中有多少分子。
佩蘭得出的數值，與用完全不同方法估算出的數值非常吻合。據說，連原本懷疑原子的有力化學家，也因此承認了原子的存在。佩蘭在 1926 年獲得諾貝爾物理學獎。
為什麼大的東西不會顫動？
據說水分子的大小約為一億分之三公分。牛奶的顆粒直徑約 1 微米（1000 分之 1 毫米），比分子大了數千倍。即使如此，它仍然算「小」。
撞擊的次數越多，左右兩邊的推力就會平均後互相抵消。越大的東西一次被撞到的次數越多，偏差就不明顯，動作也就消失了。所以你的手指和彈珠不會顫動。
反過來說，顆粒越小、水溫越高、水越稀薄流動，顫動就越劇烈。下方的「用算式確認」會確認這三件事被整合在一條式子裡。
從窗戶照進來的光線中，可以看到灰塵輕輕飄舞。這常被當作布朗運動的例子，但肉眼看得到的灰塵太大了。一般認為，那種運動主要是房間裡空氣的緩慢流動造成的。
細胞中的小分子，也因同樣的機制不斷被撞得搖晃。氧氣和養分能遍及細胞的每個角落，都要歸功於這種「毫無規則的晃動」從不停歇。
總結
水中小顆粒的顫動，是看不見的分子從四面八方撞擊的證據。偏離只會依時間的平方根擴大，愛因斯坦與佩蘭就從這個擴大方式，數出了原子的數量。
原子即使看不見，也能被數出來。
小顆粒的顫動，讓我們看見了它的「影子」。
像牛奶顆粒這樣，水和油如何分開，請見水和油為什麼不會混在一起？；原子的排列能薄到什麼程度，請見黃金可以延展到多薄？。
- 把牛奶用水稀釋成約 10 倍，取 1 滴放在載玻片上，再蓋上蓋玻片。
- 用約 400 倍的顯微鏡觀察，就能看到小顆粒在細微地顫動。有時候兒童用的顯微鏡也看得到。
- 如果所有顆粒都朝同一個方向流動，那是水流。稍等一下，等水流平靜後，再找找每顆方向都不一樣的顫動。
也請比較看看：較小的顆粒顫動得比較劇烈，較大的顆粒則比較安分。
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國中用語：這個現象有名字
- 布朗運動：漂浮在液體或氣體中的小顆粒，因周圍分子的撞擊而不斷做不規則運動的現象。名稱來自發現者羅伯特・布朗。
- 擴散：分子或顆粒隨機運動的結果，從濃的地方往稀的地方散開。布朗運動就是一顆一顆地觀察擴散。
- 亞佛加厥常數：1 莫耳物質所含的粒子數，約 6.02×1023 個。佩蘭從布朗運動的測量估算出這個數字。
國中高中用算式確認：牛奶的顆粒，1 分鐘會偏離多少？
計算直徑 1 微米的顆粒，在 20℃ 的水中，朝某一個方向平均會偏離多少。
| 用符號寫 | x ＝ √( 2 × D × t ) ， D ＝ kT ÷ ( 6π × η × r ) |
| 用文字寫 | 偏離 ＝ 「2 × 擴散係數 × 時間」的平方根。擴散係數 ＝ 熱搖動的強度 ÷ 水的阻力 |
| 這個式子從哪來 | 由分子推動顆粒的強度（由溫度決定），與水阻止運動中顆粒的阻力（斯托克斯公式）之間的關係推導而來，稱為愛因斯坦關係式 |
| 符號 | 意義與單位 |
| x | 朝某一個方向的平均偏離（微米） |
| D | 擴散係數＝容易擴散的程度（平方微米每秒） |
| t | 等待時間（秒） |
| kT | 波茲曼常數與絕對溫度的乘積。每個分子的熱搖動大小 |
| η | 水的黏稠度（黏度，帕斯卡秒） |
| r | 顆粒的半徑（微米） |
| 20℃ 時的 kT（以帕斯卡與立方微米為單位表示的值） | 0.00404 |
| 20℃ 水的黏度 η（帕斯卡秒） | 0.0010 |
| 顆粒的半徑 r（微米） | 0.5 |
| 圓周率 π | 3.14 |
| 算出 6π | 6 × 3.14 ＝ 18.84 |
| 乘上黏度 | 18.84 × 0.0010 ＝ 0.01884 |
| 再乘上半徑，得到水的阻力大小 | 0.01884 × 0.5 ＝ 0.00942 |
| 擴散係數 D（平方微米每秒） | 0.00404 ÷ 0.00942 ≒ 0.429 |
| 每秒的「2 × D」 | 2 × 0.429 ＝ 0.858 |
| 1 秒的偏離 | 0.858 的平方根約為 0.93 微米 |
| 60 秒（1 分鐘）的「2 × D × t」 | 0.858 × 60 ＝ 51.48 |
| 1 分鐘的偏離 | 51.48 的平方根約為 7.2 微米 |
| 若保持 1 秒的速度直線前進 1 分鐘 | 0.93 × 60 ＝ 55.8 |
就算等了 1 分鐘，顆粒也只偏離大約 7 微米，約為頭髮粗細（約 70 微米）的十分之一。若維持最初 1 秒的速度前進，可以到達 56 微米，但因為來回打轉，只有其約八分之一。佩蘭把這個計算反過來用，從測得的偏離求出 kT，再由此得出亞佛加厥常數。
高中高中＋溫度與分子運動的關係
高中高中物理的「氣體分子運動」會學到，溫度代表每個分子動能的平均值。做布朗運動的顆粒，也和周圍分子一樣是同溫度的夥伴，平均起來擁有相同的動能。顆粒比較重，所以動得比較慢。
高中＋偏離依時間的平方根增加，是「隨機漫步」這種毫無規則的步行所共有的性質。如果前後隨機各走一步，走 100 步之後的偏離平均只有約 10 步。
大學搖動與阻力，源自同一個根
上面的式子 D ＝ kT ÷ ( 6π × η × r ) 稱為斯托克斯－愛因斯坦公式。分母來自斯托克斯公式，它表示緩慢移動的球體從液體受到的阻力。顆粒的運動可以用同時包含隨機力與阻力的朗之萬方程式來寫。推動顆粒的力與阻止它的阻力，都源自同樣的碰撞，這個想法被推廣為擾動耗散定理。
📖 式子的推導與更進一步的內容：布朗運動（維基百科，日文） ／ 愛因斯坦 1905 年的原始論文（德文）
研究還沒有完全搞清楚的事
- 極短時間內的運動。 兩次碰撞之間，顆粒的「瞬間速度」長久以來被認為無法測量。2010 年前後起，用光捕捉顆粒來測量的實驗逐漸進展。
- 擁擠細胞內的晃動。 細胞內擠滿了分子，而且生物還會自己消耗能量來推動。已經發現有偏離單純平方根定律的運動，對它的理解仍在研究中。
- 利用晃動的分子機器。 在肌肉等處作用的蛋白質，究竟在多大程度上利用隨機的晃動朝單一方向移動，至今仍在討論。
也就是說，這篇文章的內容也只是「就目前所知範圍內的說明」。這種隨機的顫動，從發現至今將近 200 年，仍不斷產生新的問題。
與課本的關聯（依程度）
| 程度 | 科目・單元 | 本文的哪裡 |
|---|---|---|
| 國中 | 理化（七年級）「物質的樣貌」・粒子模型 | 水是由小粒子組成、擴散 |
| 高中 | 物理「氣體分子運動」・化學「物質的量」 | 溫度與動能、亞佛加厥常數 |
| 高中＋ | 數學「機率」的進階 | 隨機的步行與平方根定律 |
| 大學 | 統計力學・物理化學・流體力學 | 斯托克斯－愛因斯坦公式、朗之萬方程式 |
| 研究 | 生物物理・軟物質物理 | 細胞內的晃動、分子機器 |
| ― | 與生活的關聯 | 牛奶和顏料不容易沉澱、氣味會在房間裡擴散 |
- 愛因斯坦〈論熱的分子運動論所要求的、靜止液體中懸浮小粒子的運動〉（德國物理學期刊，1905 年）
- 尚・佩蘭《原子》玉蟲文一 譯（岩波文庫）
- 羅伯特・布朗〈關於植物花粉所含粒子的顯微觀察簡報〉（1828 年）
- 維基百科「布朗運動」（日文）
- 維基百科「亞佛加厥常數」（日文）
※本文是寫給一般讀者的科學解說。文中的數值是為了幫助理解原理的參考值與概算。歷史事件的細節有各種不同說法。