Grains de sable des plages ou étoiles de l'Univers : lesquels sont les plus nombreux ?
― Les étoiles gagnent, d'un facteur de plusieurs dizaines au moins. Mais elles perdent face aux molécules d'eau d'un verre
Vous avez peut-être déjà entendu dire qu'il y a plus d'étoiles dans l'Univers que de grains de sable sur les plages de la Terre. On ne peut pas les compter, mais on peut les estimer avec de simples multiplications. Résultat : les étoiles l'emportent bel et bien. Et plus près de nous, on trouve des choses encore bien plus nombreuses que les étoiles.
Au bord de la mer, un jour d'été, vous prenez une poignée de sable. Les grains s'écoulent entre vos doigts.
Autour de vous, la plage s'étire sur des kilomètres. Et au-delà, partout dans le monde, il existe des plages semblables.
La nuit, sur cette même plage, vous levez les yeux : le ciel est plein d'étoiles. Entre ces grains de sable et ces étoiles, lesquels sont vraiment les plus nombreux ?
Deux multiplications suffisent pour trancher
Un grain de sable est minuscule, mais la taille d'une plage est limitée. On multiplie longueur, largeur et profondeur pour obtenir un volume, puis on le divise par le volume d'un grain : on obtient le nombre de grains, à peu près. La réponse est de l'ordre de « 10 puissance 20 ».
Notre galaxie, la Voie lactée, compterait plus de 100 milliards d'étoiles. Et l'Univers observable renferme des centaines de milliards de galaxies, voire plus. Le produit dépasse « 10 puissance 22 ».
10 puissance 20 contre 10 puissance 22. Ces deux nombres sont inimaginablement grands, mais deux crans d'exposant d'écart font un facteur 100. C'est le point le plus savoureux de ce duel.
Comment compter les grains de sable d'une plage ?
Les compter un à un est impossible. On construit donc l'estimation par multiplications, à partir de choses dont on connaît la taille. Cette méthode s'appelle l'estimation de Fermi.
Les côtes du monde mesurent environ 360 000 km en tout. D'après une étude, les plages en représentent à peu près 30 %. Si l'on suppose une plage large de 50 mètres et un sable profond de 5 mètres, le sable des plages du monde fait environ 27,5 milliards de mètres cubes.
Par ailleurs, un grain de sable mesure environ 0,5 mm de diamètre. Un cube d'un mètre cube en contient environ 8 milliards. En multipliant les deux, on obtient environ 2×10 puissance 20 grains, soit à peu près 200 trillions de milliards (2 « gai » en japonais).
Regardez la figure 1. Sur l'axe horizontal, chaque graduation vers la droite multiplie le nombre par 10. Avec le curseur, vous pouvez changer la taille des grains et voir comment leur nombre évolue.
Si la taille des grains est divisée par deux, leur nombre est multiplié par 8. Le volume, en effet, est une longueur multipliée trois fois par elle-même. Même avec des plages uniquement faites de sable très fin, le nombre de grains se rapprocherait de la borne basse du nombre d'étoiles. Mais il ne dépasserait jamais la fourchette d'estimation des étoiles.
Comment compter les étoiles de l'Univers ?
Les étoiles non plus ne se comptent pas une à une. On procède donc en deux multiplications. D'abord, le nombre d'étoiles d'une galaxie : pour la Voie lactée, on l'estime entre 100 et 400 milliards.
Ensuite, le nombre de galaxies dans la partie de l'Univers visible au télescope : entre quelques centaines de milliards et environ 2 000 milliards, une fourchette qui varie selon les chercheurs. Prenons une estimation basse : 100 milliards de galaxies de 100 milliards d'étoiles chacune, soit 10 puissance 22 étoiles.
Comparé aux 2×10 puissance 20 grains de sable, cela fait environ 45 fois plus d'étoiles. Avec une estimation haute, l'écart atteint des dizaines de milliers de fois. « Il y a plus d'étoiles que de grains de sable » est une conclusion solide, même si l'on change les hypothèses.
Prenons un verre d'eau de 180 millilitres. Il contient à lui seul environ 6×10 puissance 24 molécules d'eau. C'est encore plus que la haute de la fourchette d'estimation des étoiles. Quand les objets sont trop petits pour être vus, leur nombre explose de plusieurs ordres de grandeur.
Cet article n'a compté que le sable des plages. Les vastes déserts contiennent bien plus de sable que les plages. En les incluant, l'estimation gonfle de plusieurs milliers de fois, et l'on ne saurait plus départager sable et étoiles. La réponse dépend de ce que l'on appelle « sable ».
En résumé
Ce qu'on ne peut pas compter, on peut l'estimer : on le découpe en éléments dont on connaît la taille, puis on multiplie. Les grains de sable des plages du monde sont environ 10 puissance 20, les étoiles de l'Univers au moins 10 puissance 22. Et les molécules d'eau d'un verre dépassent encore ces étoiles.
Des nombres incomptables peuvent se comparer par multiplication.
Ce qui est plus nombreux que les étoiles de l'Univers se trouve dans votre verre.
Pour en savoir plus sur le sable lui-même, lisez Pourquoi le sable sec s'effondre-t-il, alors que mouillé, il tient ? Et sur la lumière des étoiles qui atteint nos yeux, voyez aussi Combien de grains de lumière faut-il pour que l'œil « voie » ?
- Prenez une cuillère à café rase (5 millilitres) de sable sec et étalez-la sur une feuille de papier noir.
- Avec un cure-dent, séparez un petit tas gros comme un grain de riz et comptez ses grains. Estimez à l'œil combien de fois le reste du sable est plus grand que ce petit tas.
- « Nombre de grains du petit tas × nombre de fois » donne le nombre de grains de la cuillère. Vous devriez trouver de quelques milliers à quelques dizaines de milliers.
C'est l'exercice le plus simple d'estimation de Fermi. Vous constaterez aussi que la taille des grains change beaucoup la réponse.
Pour aller plus loin ― termes, formules, lien avec les manuelsDu collège à l'université : le niveau de chaque passage est indiqué
- CollègeCe qu'on apprend en sciences au collège
- LycéeCe qu'on apprend au lycée (bases de chimie, sciences de la Terre)
- Lycée+Approfondissement du lycée, ou encadrés de manuels
- Univ.Matières universitaires non vues au lycée (sédimentologie, astronomie)
- RechercheSujets que les chercheurs étudient encore, même pas enseignés comme acquis à l'université
CollègeVocabulaire : ce phénomène a un nom
- Sable : en sciences de la Terre, on appelle sable les grains d'environ 1/16 mm à 2 mm de diamètre. Plus fin, c'est de la boue (limon) ; plus gros, ce sont des graviers.
- Galaxie : un grand ensemble d'étoiles et de gaz tenu par la gravité. Notre Soleil est une étoile de la Voie lactée.
- Estimation de Fermi : méthode qui donne une valeur approchée d'une grandeur impossible à mesurer directement, en la décomposant en produit de grandeurs connues.
CollègeLycéeVérifier par les formules : estimer grains et étoiles
Le nombre de grains est « volume total ÷ volume d'un grain » ; le nombre d'étoiles est « étoiles par galaxie × nombre de galaxies ». Les grands nombres s'écrivent plus facilement en puissances de 10 : dans une multiplication, il suffit d'additionner les exposants.
| En symboles | N ＝ ( L × W × H ) ÷ d³ ／ N★ ＝ n × G |
| En mots | Nombre de grains ＝ volume de la plage ÷ volume d'un grain. Nombre d'étoiles ＝ étoiles par galaxie × nombre de galaxies |
| D'où viennent ces formules | Un volume est une somme de petites parties : le diviser par la taille d'un grain donne un nombre de grains (on néglige les vides entre grains). Pour les étoiles, c'est le produit du nombre de groupes semblables par leur contenu |
| Symbole | Sens et unité |
| L | Longueur totale des plages du monde (m) |
| W | Largeur d'une plage (m) |
| H | Profondeur du sable (m) |
| d | Diamètre d'un grain, assimilé à un cube de côté d (mm) |
| n, G | Étoiles par galaxie, nombre de galaxies |
| Longueur des côtes du monde | environ 360 000 km |
| Part de plages | environ 31 % selon une étude |
| Largeur de plage et profondeur de sable (hypothèses) | largeur 50 m, profondeur 5 m |
| Diamètre d'un grain | 0,5 mm |
| Étoiles par galaxie, nombre de galaxies (estimation basse) | 100 milliards chacun, soit 10 puissance 11 |
| Nombre de molécules dans 1 mole d'eau (18 grammes) | environ 6,0×10 puissance 23 (constante d'Avogadro) |
| Longueur des plages (km) | 360000 × 0.31 ≒ 110000 |
| Conversion en mètres | 110000 × 1000 ＝ 110000000 |
| Surface des plages (m²) | 110000000 × 50 ＝ 5500000000 |
| Volume de sable (m³), environ 27,5 milliards | 5500000000 × 5 ＝ 27500000000 |
| Volume d'un grain (mm³), étape intermédiaire | 0.5 × 0.5 ＝ 0.25 |
| Volume d'un grain (mm³) | 0.25 × 0.5 ＝ 0.125 |
| Grains dans 1 m³ (1 milliard de mm³) | 1000000000 ÷ 0.125 ＝ 8000000000 |
| Grains : partie chiffrée de 2,75×10 puissance 10 et 8×10 puissance 9 | 2.75 × 8 ＝ 22 |
| De même, partie exposants (addition) | 10 + 9 ＝ 19 |
| Étoiles : exposants de 10 puissance 11 × 10 puissance 11 | 11 + 11 ＝ 22 |
| Étoiles ÷ grains (10 puissance 22 ÷ 2,2×10 puissance 20) | 100 ÷ 2.2 ≒ 45 |
| Moles dans un verre d'eau (180 g) | 180 ÷ 18 ＝ 10 |
| Molécules d'eau (partie chiffrée, à multiplier par 10 puissance 23) | 10 × 6.0 ＝ 60 |
Les grains font 22×10 puissance 19, soit environ 2,2×10 puissance 20. Les étoiles sont au moins 10 puissance 22, environ 45 fois plus. Les molécules d'eau font 60×10 puissance 23, soit environ 6×10 puissance 24, plus que la borne haute de l'estimation des étoiles (10 puissance 24).
LycéeLycée+Où l'estimation est-elle la plus fragile ?
LycéeLe nombre de grains est inversement proportionnel au cube du diamètre. Si le diamètre change d'un facteur 10, le nombre change d'un facteur 1000. Comme la finesse du sable varie beaucoup d'une plage à l'autre, la taille des grains est ce qui pèse le plus dans cette estimation. Le curseur de la figure 1 sert à sentir cette sensibilité.
Lycée+Le vrai sable n'est pas fait de cubes, ses grains sont arrondis, et les vides entre grains représentent environ 30 à 40 % du volume. Tenir compte des vides réduit un peu le nombre de grains, mais de moins d'un facteur 2. Pour un calcul d'ordres de grandeur, les hypothèses de profondeur et de largeur pèsent bien davantage.
Univ.Distribution granulométrique et comptage des galaxies
En sédimentologie, la taille du sable s'appelle « granulométrie » ; on l'exprime par la part de masse retenue sur chaque tamis (distribution granulométrique). On utilise aussi l'échelle phi, une échelle logarithmique. En astronomie, on compte les galaxies sur des images du ciel profond, puis, à partir du nombre de galaxies par luminosité (fonction de luminosité), on estime même celles trop faibles pour être vues. La taille de l'Univers observable dépend elle-même de l'histoire de l'expansion de l'Univers.
📖 Démonstrations et suite : Estimation de Fermi (Wikipédia, en japonais) ／ Univers observable (Wikipédia, en japonais)
RechercheCe qu'on ne sait pas encore bien
- Combien y a-t-il de galaxies dans l'Univers ? En 2016, une estimation de « 2 000 milliards » a été avancée, mais des observations de l'obscurité du ciel ont depuis conduit à des chiffres plus bas.
- La surface exacte des plages du monde. Des études mesurent la part de plages sur images satellites, mais la profondeur du sable varie énormément d'un lieu à l'autre, et il n'existe pas de données d'ensemble.
- Les plages grandissent-elles ou reculent-elles ? Selon la quantité de sable apportée par les vagues et les fleuves et celle extraite par l'homme, de nombreuses plages s'amenuiseraient ; le tableau général est en cours d'étude.
Le contenu de cet article n'est donc lui aussi qu'« une explication dans l'état actuel des connaissances ». Même si les chiffres changent, la relation d'ordre de grandeur « plus d'étoiles que de grains de sable sur les plages » ne devrait pas être renversée de sitôt.
Lien avec les manuels (par niveau)
| Niveau | Matière · chapitre | Où dans cet article |
|---|---|---|
| Collège | Sciences « Changements de la Terre » (graviers, sable, boue), maths « volume » | Définition du sable, volume de la plage |
| Lycée | Chimie « quantité de matière (mole) », sciences de la Terre « galaxies et Univers » | Molécules d'eau, étoiles d'une galaxie |
| Lycée+ | Empilement des grains et vides | Correction pour les vides |
| Univ. | Sédimentologie (granulométrie), astronomie (fonction de luminosité) | Affiner la précision de l'estimation |
| Recherche | Nombre total de galaxies, évolution des plages | Chiffres encore incertains |
| ― | Lien avec la vie quotidienne | Saisir les grands nombres en « puissance de 10 » |
- Luijendijk, A. et al. (2018) The State of the World's Beaches. Scientific Reports 8, 6641
- CIA, The World Factbook (longueur des côtes du monde)
- Conselice, C. J. et al. (2016) The Evolution of Galaxy Number Density at z < 8 and Its Implications. The Astrophysical Journal 830, 83
- Constante d'Avogadro (アボガドロ定数, Wikipédia en japonais)
- Observatoire astronomique national du Japon (国立天文台), éd., « Rika nenpyō » (理科年表, Annuaire scientifique), Maruzen Publishing
※ Cet article est une explication scientifique grand public. Les valeurs indiquées sont des ordres de grandeur destinés à comprendre le mécanisme. La largeur et la profondeur des plages sont des hypothèses pour l'explication ; les valeurs réelles varient beaucoup selon les lieux.