沙灘的沙粒和宇宙的星星，哪個比較多？
― 星星至少多出數十倍。但是，比不上一杯水裡的分子
你或許聽過這句話：「宇宙裡的星星，比地球沙灘上的沙粒還多。」這些東西數不完，但只靠乘法就能估算出來。實際算一算，答案確實是星星獲勝。而且，在更貼近生活的地方，還能找到比星星多得多的東西。
夏天的海邊，你抓起一把沙。細沙從指縫間沙沙地流下去。
放眼望去，沙灘綿延好幾公里。在更遠的地方，世界各地也有同樣的沙灘。
夜裡，在同一片沙灘抬頭看天空，滿天都是星星。這些沙粒和星星，到底哪一邊比較多呢？
決定勝負的，是兩個乘法
沙粒很小，但沙灘的大小是有限的。把沙灘的長、寬、深相乘得到體積，再除以一粒沙的體積，就能大略知道沙粒的數量。答案大約是「10 的 20 次方」。
我們的銀河系據說有超過 1000 億顆星星。像這樣的星系，在可觀測的宇宙範圍內有數千億個以上。相乘之後會超過「10 的 22 次方」。
10 的 20 次方和 10 的 22 次方，兩個都是大到難以想像的數字，但右上角的指數只差 2，就會相差 100 倍。這正是這場比賽最有趣的地方。
沙灘的沙粒，要怎麼數？
一粒一粒數是不可能的。所以我們把已知大小的東西，用乘法一步步組合起來。這種估算方法叫做費米估算。
據說全世界的海岸線加起來約 36 萬公里。有調查指出，其中大約 3 成是沙灘。假設沙灘寬 50 公尺、沙的深度 5 公尺，那麼全世界沙灘的沙約有 275 億立方公尺。
另一方面，一粒沙的直徑大約是 0.5 毫米。算起來，1 立方公尺的箱子裡約可放進 80 億顆這樣的沙粒。兩者相乘，沙灘的沙粒約有 2×10 的 20 次方，也就是大約 2 垓（1 垓是 10 的 20 次方）顆。
請看圖 1。橫軸的刻度每往右一格就變成 10 倍。拉動滑桿改變沙粒的大小，就能看出沙粒數量如何變動。
沙粒的大小減半，沙粒的數量就會變成 8 倍，因為體積是長度連乘三次。如果沙灘全是非常細的沙，沙粒數就會接近星星數量的下限。即使如此，也不會超過星星的估算範圍。
宇宙的星星，要怎麼數？
星星同樣無法一顆一顆數。所以我們分成兩步來乘。首先是一個星系裡的星星數。銀河系的星星，估計有 1000 億到 4000 億顆左右。
接著是望遠鏡看得到的宇宙範圍內有多少星系。這個數字據說從數千億個到 2 兆個左右，研究者之間的估計也有落差。取少一點的值，假設有 1000 億個星系，每個星系有 1000 億顆星星，那麼星星就有 10 的 22 次方顆。
拿這個數字和沙粒的約 2×10 的 20 次方比較，星星大約多出 45 倍。如果採用較多的估計值，差距會擴大到好幾萬倍。「星星比沙粒多」這個結論，即使改變估算方式也不容易動搖。
想想一杯 180 毫升的水。光是這杯水，水分子就有約 6×10 的 24 次方個。就算和宇宙星星估算值的上限相比，這個數字還是比較大。小到看不見的東西，數量會成幾個數量級地暴增。
這篇文章只數了海邊的沙灘。廣大的沙漠裡，沙的量遠遠超過沙灘。據說把沙漠的沙也算進去，估算值會膨脹好幾千倍，和星星的勝負就分不出來了。答案取決於「要把哪些算成沙」。
總結
數不完的東西，只要拆成已知大小的部分，再用乘法接起來，就能估算出來。全世界沙灘的沙粒大約是 10 的 20 次方，宇宙的星星在 10 的 22 次方以上。而一杯水的分子，又比那些星星更多。
數不清的數字，用乘法就能比較。
比宇宙星星更多的東西，就在你的杯子裡。
關於沙粒本身的性質，可以讀沙子乾的時候會散開，為什麼一弄濕就會結實？。星光如何進入眼睛，也請看人眼需要幾顆光粒子，才能判斷「看見了」？。
- 用茶匙（5 毫升）舀滿一匙乾沙並刮平，攤在黑色紙上。
- 用牙籤分出約一粒米大小的一小堆，數一數裡面的沙粒。再用眼睛估計剩下的沙是這一小堆的幾倍。
- 「一小堆的沙粒數 × 倍數」，就是一茶匙的沙粒數。應該會是數千到數萬顆。
這是費米估算最基本的練習。你也能親身體會到，沙粒的大小會讓答案大幅改變。
想知道更多的人 ― 術語・公式・與課本的連結明確標示這是從國中自然科到大學專業課程的哪個程度
- 國中國中自然科學到的範圍
- 高中高中「基礎化學・地球科學」學到的範圍
- 高中＋高中進階內容，或課本專欄的內容
- 大學高中沒學過，大學專業課程（沉積學・天文學）的內容
- 研究連大學也不算「定論」，是研究者目前正在調查的內容
國中術語：這個現象有名字
- 沙：在地球科學中，直徑大約從 1/16 毫米到 2 毫米的顆粒稱為沙。比這更細的是泥，更粗的是礫（小石子）。
- 星系：許多星星和氣體靠重力聚集成的集團。我們的太陽是銀河系裡的一顆星。
- 費米估算：把無法直接測量的量，拆成已知量的乘法，算出大略數值的方法。
國中高中用算式確認：估算沙粒與星星的數量
沙粒數是「總體積 ÷ 一粒的體積」，星星數是「一個星系的星星數 × 星系數量」。很大的數字寫成 10 的幾次方，計算會比較輕鬆。因為做乘法時，只要把右上角的指數相加就好。
| 用符號寫 | N ＝ ( L × W × H ) ÷ d³ ／ N★ ＝ n × G |
| 用文字寫 | 沙粒數 ＝ 沙灘體積 ÷ 一粒的體積。星星數 ＝ 一個星系的星星數 × 星系數量 |
| 這個算式的由來 | 體積是小部分的總和，所以把整體除以一粒的大小，就得到個數（忽略顆粒間的縫隙）。星星則是「同樣的集團有幾個」的乘法 |
| 符號 | 意義與單位 |
| L | 全世界沙灘長度的總和（m） |
| W | 沙灘的寬度（m） |
| H | 沙的深度（m） |
| d | 一粒沙的直徑。把沙粒視為邊長 d 的立方體（mm） |
| n、G | 一個星系的星星數、星系的數量（個） |
| 全世界海岸線的長度 | 據說約 36 萬 km |
| 其中沙灘的比例 | 有調查指出約 31% |
| 沙灘的寬度與沙的深度（假設） | 寬 50m、深 5m |
| 沙粒的直徑 | 0.5mm |
| 一個星系的星星數、星系數量（取少的值） | 都是 1000 億，也就是 10 的 11 次方 |
| 1 莫耳（18 公克）水的分子數 | 約 6.0×10 的 23 次方個（亞佛加厥常數） |
| 沙灘的長度（km） | 360000 × 0.31 ≒ 110000 |
| 換算成公尺 | 110000 × 1000 ＝ 110000000 |
| 沙灘的面積（m²） | 110000000 × 50 ＝ 5500000000 |
| 沙的體積（m³），約 275 億 | 5500000000 × 5 ＝ 27500000000 |
| 一粒的體積（mm³）的中間步驟 | 0.5 × 0.5 ＝ 0.25 |
| 一粒的體積（mm³） | 0.25 × 0.5 ＝ 0.125 |
| 1m³（10 億 mm³）能放進的沙粒數 | 1000000000 ÷ 0.125 ＝ 8000000000 |
| 沙粒數：2.75×10 的 10 次方 與 8×10 的 9 次方 的數字部分 | 2.75 × 8 ＝ 22 |
| 同樣地，10 的指數部分（相加） | 10 + 9 ＝ 19 |
| 星星數：10 的 11 次方 × 10 的 11 次方 的指數 | 11 + 11 ＝ 22 |
| 星星是沙粒的幾倍（10 的 22 次方 ÷ 2.2×10 的 20 次方） | 100 ÷ 2.2 ≒ 45 |
| 一杯水（180g）是幾莫耳 | 180 ÷ 18 ＝ 10 |
| 水的分子數（數字部分。後面還要乘 10 的 23 次方） | 10 × 6.0 ＝ 60 |
沙粒是 22×10 的 19 次方，也就是約 2.2×10 的 20 次方顆。星星在 10 的 22 次方顆以上，約為沙粒的 45 倍。水的分子是 60×10 的 23 次方，也就是約 6×10 的 24 次方個，比星星估算的上限（10 的 24 次方）還多。
高中高中＋這個估算，哪裡最不可靠？
高中沙粒的數量與直徑的 3 次方成反比。直徑差 10 倍，數量就差 1000 倍。沙灘的沙在不同地方細緻程度差很多，所以對這個估算結果影響最大的是粒徑。圖 1 的滑桿，就是讓你體驗這種敏感度。
高中＋實際的沙不是立方體而是帶圓角，顆粒之間據說有體積 3〜4 成的縫隙。考慮縫隙後，沙粒數會少一點，但減少不到 2 倍。在比較數量級時，深度和寬度的假設影響要大得多。
大學粒徑分布，以及星系數量的算法
在沉積學中，沙的大小稱為「粒徑」，並用篩分後各部分的重量比例（粒徑分布）來表示。也會使用以對數表示的 φ（Phi）尺度。在天文學中，則是數深空照片中拍到的星系，再從各亮度的數量（光度函數）推算出太暗而拍不到的星系數量。可觀測宇宙本身的大小，也是由宇宙膨脹的歷史決定的量。
📖 算式的推導與更進階的內容：費米估算（維基百科） ／ 可觀測宇宙（維基百科）
研究目前還不清楚的事
- 宇宙到底有多少個星系？ 2016 年曾提出「2 兆個」的估計，但之後有根據夜空暗度觀測的報告，認為數量更少。
- 全世界沙灘的正確面積。 利用衛星影像調查沙灘比例的研究正在進展，但沙灘的沙有多深，各地差異很大，目前沒有完整的資料。
- 沙灘是在增加還是減少？ 受到海浪與河川搬運的沙量，以及人類採沙量的變化影響，有報告指出許多沙灘正在縮減，目前正在研究整體的樣貌。
換句話說，這篇文章的內容也只是「目前已知範圍內的說明」。即使估算的數字會改變，「星星比沙灘的沙粒多」這個數量級的關係，短期內似乎不會被推翻。
與課本的連結（依程度）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文的哪裡 |
|---|---|---|
| 國中 | 自然科「大地的變化」（礫・沙・泥）、數學「體積」 | 沙的定義、沙灘的體積 |
| 高中 | 基礎化學「物質的量（莫耳）」、地球科學「銀河與宇宙」 | 水的分子數、星系的星星數 |
| 高中＋ | 顆粒的堆積方式與縫隙 | 考慮縫隙的修正 |
| 大學 | 沉積學（粒徑分布）、天文學（光度函數） | 提高估算精確度的方法 |
| 研究 | 星系總數、沙灘的變化 | 仍有誤差範圍的數字 |
| ― | 與生活的連結 | 用「10 的幾次方」掌握大數字的感覺 |
- Luijendijk, A. 等 (2018) The State of the World's Beaches. Scientific Reports 8, 6641
- CIA, The World Factbook（世界海岸線的長度）
- Conselice, C. J. 等 (2016) The Evolution of Galaxy Number Density at z < 8 and Its Implications. The Astrophysical Journal 830, 83
- 亞佛加厥常數（維基百科）
- National Astronomical Observatory of Japan (国立天文台) 編《Rika Nenpyo (理科年表)》丸善出版
※本文是為一般讀者撰寫的科學解說。文中的數值是為了理解原理的參考值與概算。沙灘的寬度與深度是為了說明而做的假設，實際數值會因地點而有很大差異。