彩虹，為什麼總是
出現在太陽的另一邊？
看到彩虹時，太陽一定在你的背後。沒有例外。而且彩虹並不是浮在天空某處的物體，而是只為你一個人出現的景象。站在你身邊的人看到的彩虹，和你看到的並不是同一道彩虹。
陣雨過後的傍晚，回頭一看，天空掛著彩虹。想拍照而靠近，彩虹卻完全不會靠近你。它始終保持同樣的距離、同樣的形狀，停留在那裡。
也許有人曾經想走到彩虹的「山腳下」。當然，永遠走不到。因為彩虹根本沒有「山腳」，也沒有「地點」。
而且看彩虹的時候，太陽總是在你背後。朝彩虹走去時，你的影子會一直筆直地伸向彩虹的方向。
這一切都可以用一個數字來解釋。這個數字就是 42度。
進入雨滴的光，會在內壁反彈，往來時的方向送回去。所以彩虹的光是從太陽的反方向來的。必須背對太陽才看得到，原因就在這裡。
送回來的光並非四散各方，而是集中在某個角度。那就是約42度。所以只有「符合這個角度的位置」才會明亮發光，看起來像一道弧線。
換句話說，彩虹是你的眼睛、太陽、雨滴三者恰好形成42度關係時，才看得見的光。接下來依序說明。
為什麼一定要背對太陽才看得到
雨滴就像一顆玻璃珠。光線射入時，在水與空氣的交界處，前進方向會稍微彎折（就像吸管插入水中看起來折斷一樣）。
進入水珠的光，會到達對面的內壁。這裡一部分光會穿出去，但有一部分會像鏡子一樣反彈回來。射出時又再彎折一次。
結果就是，光線大致會往來的方向折返。這正是彩虹性質的關鍵。雨滴不是讓光線往前穿透的裝置，而是把光往後送回去的裝置。
所以彩虹的光，是從太陽的反方向抵達你的眼睛。如果不是背對太陽，光根本到不了你這裡。
為什麼會形成「弧線」？― 42度的意義
這正是彩虹最有趣的地方。從雨滴送回來的光，並不會平均分散到每個角度，而是緊密集中在約42度這個角度上。
光打在雨滴的哪個位置，送回的角度就會不同。但經過計算會發現，這個角度在42度附近會「到頂」，不會再變大。而在接近頂點的地方，大量的光會重疊在同一個角度上。所以只有42度方向的光，會特別明亮。
那麼，天空中哪裡算是「42度」呢？基準是你影子延伸的方向。從太陽正對面那一點算起，偏離42度的方向。把這些方向連起來，就會形成一個圓。
因為有地面，這個圓的下半部看不到。所以彩虹看起來是半圓形的弧。從飛機上或高山上，有時能看到完整的圓形彩虹。
彩虹的位置，只由你眼睛的位置和太陽的方向決定。你移動一公尺，符合42度條件的雨滴也會換一批。彩虹其實一直是由「不同的雨滴」持續構成的。
身旁的人看到的彩虹，是由另一批雨滴造成的。原則上，兩個人不可能看到同一道彩虹。而靠近也到達不了，是因為彩虹不是物體，而是一種「角度條件」。你一走動，符合條件的位置也會跟著移動。
顏色的順序，以及雙彩虹
顏色會分開，是因為不同顏色的彎折程度略有差異。三稜鏡把白光分成彩虹色的原理，正發生在雨滴內部。
送回來的角度，紅色約42度、紫色約40度。角度較大的紅色在外側，較小的紫色在內側。所以彩虹外側是紅色，內側是紫色。
仔細看，有時會在彩虹外側再看到一道較淡的彩虹，稱為霓（副虹）。霓是光線在雨滴內反彈兩次後才射出。因此角度變成約51度，顏色順序相反（外側紫色、內側紅色）。
而原本明亮的彩虹（稱為主虹）與霓之間，會比周圍更暗。因為這條帶狀區域裡，兩道彩虹的光都送不回來。看到彩虹時，也請找找兩道彩虹之間那片較暗的天空。
而是你、太陽和雨滴之間，形成的42度關係。
那麼，為什麼是「七種顏色」？
到目前為止的說明中，完全沒有出現過「七」這個數字。本來就不該出現。因為顏色是連續變化的，中間並沒有明確的分界線。
「七色」這種數法，屬於文化層面，而非物理層面。據說把彩虹定為七色的人是牛頓。當時的說法是，他有意識地把顏色對應到音階的七個音。
事實上，不同國家、不同時代的數法各不相同。據報告，有些地區把彩虹算作六色，也有文化把它形容成五色、三色，甚至兩色。日本古代文獻中，也能看到和現在不同的數法。
也就是說，「彩虹是幾種顏色」這個問題，物理上並沒有正確答案。抵達眼睛的光是一樣的，差別只在於把它分成幾段而已。為連續的東西劃線，向來是人類自己的工作。
在庭院或陽台就能驗證的事
- 晴天時，背對太陽站立。早上或傍晚等太陽較低的時候，比較容易成功
- 用手指壓住水管口，或用噴霧器，朝自己影子的方向噴出細小水霧
- 以影子頭部附近為中心，彩虹就會出現
- 試著左右移動身體，彩虹也會跟著你一起移動。這說明了彩虹並不是「一個地點」
- 如果面向太陽做同樣的事，彩虹不會出現。因為不符合角度條件
一邊改變噴水的方向，一邊找找看彩虹會出現在哪裡。「從影子頭部算起42度」這個條件，可以親身驗證。務必全程背對太陽，切勿直視太陽。
總結
彩虹只出現在太陽的反方向，是因為雨滴是把光送回原來方向的裝置。看起來像弧線，是因為送回的光集中在42度，而符合這個條件的位置恰好連成一個圓。至於「七色」這種數法，問題不在光，而在人類這一方。
靠近不了彩虹，不是因為距離遠。
而是因為它不是地點，而是一種關係。
光依波長分開的現象，也和大海看起來是藍色的原因有關。詳情請見這篇文章的說明。
想知道更多的人 ― 用語、公式、與教科書的連結從國中理科到研究中的話題，都會明確標示屬於哪個程度
- 國中國中理科所教的範圍
- 高中高中「物理基礎」「物理」所教的範圍
- 高中＋高中「物理」，或教科書中屬於延伸、專欄的內容
- 大學高中不教、屬於大學專業科目（光學、電磁學）的內容
- 研究即使在大學也不被當作「定論」教授，而是研究者正在探討中的話題
國中用語：關於彩虹的詞彙
- 折射：光在不同物質交界處改變前進方向。放進水裡的吸管看起來折斷，就是這個現象。
- 色散：因為不同顏色的折射程度不同，白光因而分成各種顏色。
- 主虹：一般常見的明亮彩虹。是在雨滴內反彈一次的光。外側是紅色。
- 霓（副虹）：主虹外側隱約可見的彩虹。是反彈兩次的光。角度約51度，顏色順序相反。
- 對日點：太陽正對面的方向。也就是你影子頭部所指的方向，是彩虹這個圓的圓心。
- 亞歷山大暗帶：主虹與霓之間、比周圍更暗的帶狀區域。據說因為2世紀就有相關記錄而得名。
高中用公式驗證：彩虹的色帶有幾個滿月那麼寬
彩虹有許多地方可以用計算求出。色帶的寬度、顏色的順序，甚至「今天不會出現彩虹」的預測都做得到。
sin i ＝ n × sin r
| i 射入水滴時的角度 | 單位為 度 |
| r 彎折後的角度 | 單位為 度 |
| n 水的折射率 | 約 1.33 |
這裡重要的是，n 會依顏色而略有不同。紅色約1.331，紫色約1.344。這0.013的差異，造就了彩虹的一切。
計算光射入水滴、反彈一次後射出的過程，可得送回的角度紅色約42.4度、紫色約40.6度。接下來的計算，只需要用這兩個數字。
| 紅色送回的角度 | 約 42.4 度 |
| 紫色送回的角度 | 約 40.6 度 |
| 彩虹色帶的寬度 | 42.4 － 40.6 ＝ 1.8 度 |
| 滿月的視直徑 | 約 0.5 度 |
| 相當於幾個滿月 | 1.8 ÷ 0.5 ≒ 3.6 個 |
彩虹看起來橫跨半個天空，但色帶的寬度其實只有滿月的3～4倍大小而已。伸直手臂豎起小指，寬度大約是1度。彩虹的色帶，大約是伸長手臂後兩根小指的寬度。下次看到彩虹時，不妨驗證一下。
彩虹是以太陽正對面的方向為中心的一個環。也就是說，太陽越高，這個環的中心就會沉得越深，深入地面之下。
| 彩虹環的半徑 | 約 42 度 |
| 太陽高度為 20 度時 | 42 － 20 ＝ 22 度（彩虹頂點的高度） |
| 太陽高度為 35 度時 | 42 － 35 ＝ 7 度（低矮的小彩虹） |
| 太陽高度為 42 度時 | 42 － 42 ＝ 0 度（沉入地平線） |
太陽高度超過42度後，彩虹就會落到地平線下，看不見了。據說這就是為什麼盛夏正午下陣雨，卻很少見到彩虹的原因。彩虹多在清晨或傍晚出現，並非偶然，而是公式推導出的必然結果。
※ 在高處或飛機上，因為能看到地平線以下，有時可以看到接近完整圓形的彩虹。
主虹外側，有時能再看到一道較淡的彩虹。這是在水滴內反彈兩次的光，用同樣的計算多繞一圈，會得出約51度。
| 主虹的角度 | 約 42 度 |
| 霓的角度 | 約 51 度 |
| 兩者之間的間隔 | 51 － 42 ＝ 9 度 |
反彈次數多一次，光的路徑會在途中翻轉一次。所以霓的顏色順序，外側紫色、內側紅色，正好和主虹相反。
而兩者之間9度的區間，是兩道彩虹的光都無法送回來的範圍。仔細看的話，主虹與霓之間的天空，會比外側更暗。如果有機會看到彩虹，不妨不去找顏色，而是找找這條暗帶。這樣就能親眼確認計算是否準確。
高中＋偶爾能見到的「多餘彩虹」
在主虹的內側緊鄰處，有時能看到好幾條淡淡的綠色或紫色條紋重疊在一起。這稱為過剩虹。
其實，把光當成「直線前進」來處理的想法，完全無法解釋這個現象。因為如果42度是上限，那內側就不該出現明暗條紋。
能解釋這個現象的，是光具有波動性質這一點。以同樣角度射出的光，其實有兩條不同的路徑通過水滴，這兩者發生干涉，因而互相增強或互相抵消，形成條紋。
這在歷史上也是重要的現象。把光視為粒子的立場，怎麼也無法解釋這個現象，因而成為支持光的波動說的證據之一。抬頭看看天空，就能看到光是波動的證據浮現眼前。
大學彩虹的「完整」理論，其實意外地新
彩虹的理論經歷了好幾個階段。笛卡兒的幾何光學說明（1637年）、牛頓對色散的說明（約1666年），以及解釋過剩虹的艾里理論（1838年）。
然而艾里理論也只是近似值，究竟有多精確，長期以來並不清楚。嚴格來說，必須從馬克士威方程式出發，求解電磁波打在球體上的問題。這就是米氏理論（1908年）。
只是米氏理論的級數收斂很慢，很難清楚理解彩虹角度附近的行為。1970年代有人以複角動量理論（CAM理論）進行分析，才終於把幾何光學、艾里理論與嚴格解之間的關係整理清楚。雖然是身邊常見的現象，理論上真正定案卻要到20世紀後半。
此外，如果水滴非常小（像霧一樣），顏色會混在一起，形成白色的白虹（霧虹）。這也是由於顆粒大小不同、繞射作用的效果不同所致。
研究至今仍在討論的問題
- 「彩虹是幾種顏色」是色彩認知研究的課題。不同語言劃分顏色的數量和界線各不相同，這一點很早就已知，而彩虹正是最具代表性的例子。關於不同文化的色彩詞彙如何形成，有人主張存在普遍的順序，也有人主張取決於環境與語言使用方式，至今仍在爭論。彩虹的顏色數目不是物理問題，而是認知與語言的問題。
- 利用過剩虹來測量水滴大小的技術正在研究中。條紋間隔取決於水滴的直徑，所以反過來也能從照片推算顆粒大小。有人嘗試將此應用於降水觀測或噴霧評估，但水滴形狀並非完美球形（大顆水滴會被壓扁），這成了提升精度的障礙。
- 用計算精準重現彩虹的「顏色」，至今仍很困難。實際看起來的樣子，牽涉到水滴的大小分布、太陽的視直徑、背景天空的亮度，甚至人眼的適應狀態。要用照片或計算呈現出「逼真的彩虹顏色」，現在依然不簡單。
- 關於罕見彩虹的報告，至今仍在增加。過剩虹、白虹、由月光形成的月虹、第三道與第四道彩虹（在自然界中非常暗，據說直到2011年左右才有拍攝紀錄的報告）。明明是被人類仰望了幾百年的現象，卻還會出現新的紀錄，這一點相當有趣。
與教科書的連結（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文哪個部分 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科・光的反射與折射／三稜鏡與顏色 | 光在雨滴中彎折、反彈的部分 |
| 高中 | 物理・波動／折射定律（司乃耳定律） | 42度的推導方式、折射率與色散 |
| 高中 | 數學・三角函數／函數的最大值 | 送回角度取得最大值的思考方式 |
| 高中＋ | 物理・光的干涉（多數教科書列為延伸內容） | 過剩虹、光的波動說證據 |
| 大學 | 光學・電磁學 | 艾里理論、米氏理論、複角動量理論 |
| 研究 | 色彩認知・語言學／大氣光學（未解決） | 彩虹的顏色數目、以過剩虹推算粒徑、顏色的重現 |
- Nussenzveig, H. M., The Theory of the Rainbow, Scientific American 236(4), 116–127, 1977（彩虹理論的歷史與複角動量理論的解說）。
- Adam, J. A., The mathematical physics of rainbows and glories, Physics Reports 356(4–5), 229–365, 2002。
- Lee, R. L. & Fraser, A. B., The Rainbow Bridge: Rainbows in Art, Myth, and Science（彩虹的科學與文化史）。
- Berlin, B. & Kay, P., Basic Color Terms: Their Universality and Evolution, 1969 等，關於色彩詞彙的研究（結論仍有爭議）。
- 日本氣象廳（気象庁）關於大氣光學現象的解說。
※ 角度與折射率的數值，會因波長與條件而有所變動。本文所列為一般常用的參考值。
※本文為一般大眾取向的科學解說。文中數值僅供理解原理之參考，實際情況會因條件而有所差異。觀察時請勿直視太陽，以免傷害眼睛。