沒有人推，鞦韆為什麼
光靠自己盪就能愈盪愈高？
明明沒有踢地面，鞦韆卻每盪一次就愈盪愈高。替它加進能量的,正是你自己「身體的一升一降」。在最低點站起來,在兩端蹲下去。這個順序,一點一點地把力量注入了擺動之中。
公園的鞦韆上坐著一個小孩。一開始是有人在後面幫忙推。
後來孩子說「可以了」,便自己開始盪。腳並沒有碰到地面,只是在空中一屈一伸地彎曲、伸直膝蓋。
儘管如此,擺動卻愈來愈大。如果有人問你「明明沒人推,力量是從哪裡來的？」,你答得出來嗎？
理由只有兩個
經過擺動最低點時,屁股會被緊緊壓向座面。這時站起來,需要比平常更大的力氣。這份「多花的力氣」,就轉變成了擺動的能量。
在擺動的兩端,鞦韆會瞬間停住,身體也會變得輕飄飄的。這時蹲下去,還回去的能量只有一點點。重的時候升起,輕的時候放下。這個差距會不斷累積。
也就是說,盪鞦韆其實就是不斷重複「舉起重物,等變輕之後再放下」。因為舉起時做的功比較大,擺動就會因這份差距而逐漸增大。
站姿盪法：重心「從內側通過,在外側折返」
身體重量的中心稱為重心。站起來時重心會靠近吊繩的支點,蹲下時則遠離支點。圖1畫出了以站姿盪鞦韆的人,其重心所走的路徑。
在最低點,鞦韆正沿著圓弧轉彎。沿曲線前進的物體,會感覺被往外側壓。所以在最低點,體重上還會多加上一份「被壓向外側」的力。
這時站起來,還會發生另一件好事。就像花式滑冰選手縮起手臂會轉得更快一樣,靠近支點的身體會變快。變快之後,到了下一個端點就能盪得更高。
坐姿盪法,用的是另一套機制
坐著不站起來的盪法,原理稍有不同。在後端把身體向後仰,腳向前伸;在前端把身體挺起,腳收回來。
把身體向後倒時,手會拉扯鐵鏈。靠這個反作用力,座面會被向前推出去。這個動作,近似於用自己的身體推動自己的背。
圖2比較了兩種盪法的時機。左邊的站姿盪法,一個來回站兩次。右邊的坐姿盪法,一個來回各做一次後仰與挺身。
在沒有擺動的鞦韆上一站一蹲,幾乎不會盪起來。因為「在低處變重、在端點變輕」這個差距,只有在擺動中才會產生。這也是為什麼要先坐著盪,或先踢地借力晃一下,再開始站姿盪法。
試著故意在端點站起,在最低點蹲下。這次會變成「輕的時候升起,重的時候放下」,擺動會漸漸變弱。同樣的動作,只因時機不同,就會變成加法,也可能變成減法。
總結
盪鞦韆能愈盪愈高,是因為在擺動的最低點把身體舉起,在端點把身體放下。由於低處身體較重、端點身體較輕,舉起所做的功會比較大。這份差距,每盪一次就累積成擺動的能量。坐姿盪法則是另一種方法,靠身體後仰的反作用力去推座面。
就算沒有人在後面推,
重時舉起、輕時放下,擺動就會增大。
被別人推時「怎麼抓時機配合」,在橋和大樓,為什麼被風吹得搖晃也不會倒？中有解說。而「改變身體形狀來操控動作」這一點,貓為什麼總是能用腳著地？也是同類的話題。
- 先把鞦韆稍微盪起來,接著重複10次左右「在最低點站起、在端點蹲下」的動作。確認擺動是否愈來愈大。
- 接著,試著故意在端點站起、在最低點蹲下。擺動應該會逐漸變小。
- 在家也能做這個實驗。把一枚5圓硬幣綁在線的一端做成單擺,用手指捏住線的上端。每次單擺經過最低點時把線稍微拉高,在端點時稍微放鬆,擺動就會愈來愈大。
在鞦韆上進行時,手要一直牢牢握住鐵鏈。也請確認周圍沒有其他人。
想知道更多 ― 術語、公式與教科書的關聯從國中理化到大學專業科目,明確標示這是哪個程度的內容
- 國中國中理化課會學到的範圍
- 高中高中「基礎物理」「物理」課會學到的範圍
- 高中＋高中的進階內容,或教科書專欄介紹的內容
- 大學高中不會教,屬於大學專業科目（力學、振動理論）的內容
- 研究連大學都還不當作「定論」教授,是研究人員目前正在探討中的課題
國中術語：這個現象是有名字的
- 重心：假設物體的重量集中在一點時,那個點。站起來時上升,蹲下時下降。
- 單擺的等時性：只要擺動幅度夠小,來回一次所花的時間幾乎不受擺幅大小影響的性質。
- 參數激振（係數激振）：不是從外部施力,而是週期性地改變「決定擺動的量」（例如單擺的長度）,藉此讓擺動變大的機制。站姿盪法就是典型的例子。
國中高中用公式驗證：在最低點站起,能盪多高
假設從支點到重心的長度,蹲下時是2.0公尺,站起時是1.8公尺。設想在以每秒3公尺的速度經過最低點的那一瞬間,迅速站起。站起的瞬間,繞支點旋轉的動量（角動量）會維持不變,因此速度會與長度成反比增加。
| 蹲下時,從支點到重心的長度 r1 | 2.0 公尺 |
| 站起時,從支點到重心的長度 r2 | 1.8 公尺 |
| 經過最低點時的速度 v | 每秒 3 公尺 |
| 重力加速度 g 的2倍 | 19.6 公尺每秒每秒 |
| 若保持蹲姿能盪到的高度（速度的平方） | 3 × 3 ＝ 9 |
| 換算成高度（公尺） | 9 ÷ 19.6 ≒ 0.46 |
| 站起時的長度比 | 2.0 ÷ 1.8 ≒ 1.11 |
| 站起瞬間之後的速度（每秒公尺） | 3 × 1.11 ≒ 3.33 |
| 速度的平方 | 3.33 × 3.33 ≒ 11.1 |
| 站起後能盪到的高度（公尺） | 11.1 ÷ 19.6 ≒ 0.57 |
| 盪到的高度變成幾倍 | 0.57 ÷ 0.46 ≒ 1.24 |
只是把重心舉高20公分,盪到的高度就變成約1.2倍。因為一個來回會重複做兩次,所以盪幾次來回後,擺動就會明顯變大。不過這是假設能瞬間站起的理想計算。實際上站起需要時間,加上空氣阻力與鐵鏈摩擦也會讓能量流失,所以增加的幅度會比這個小。式中的單位,長度是公尺,速度是每秒公尺。
高中高中＋從力的角度看「重時舉起、輕時放下」
高中在最低點,鞦韆正做著圓周運動。因為需要一股指向圓心的力,鐵鏈拉力會大於體重。可以理解成,體重上又加了一份「質量×速度平方÷半徑」的力。另一方面,在端點速度為零,鐵鏈的拉力會小於體重。移動重心所做的功是「力×距離」,所以即使同樣是20公分,在低處舉起所做的功,會比在端點放下、還回去的功來得大。
高中＋假設擺幅很小,來看站起瞬間之後擺動角度的變化。角度的平方,會等於長度比的3次方倍。以上面的例子而言,長度比約為1.11,因此角度的平方,計算上約增為1.4倍。在端點蹲下角度不會改變,所以這個增幅每半個來回就會疊加一次。因為增幅「與目前的擺幅成正比」,擺幅若為零就完全不會增加。前面專欄提到「靜止的鞦韆光靠站姿盪法無法動起來」,原因就在這裡。
大學站姿盪法接近「參數共振」,坐姿盪法接近「強迫振動」
週期性改變單擺長度的運動,可以用一種稱為馬修方程式的式子來表示。已知當長度以擺動頻率2倍的頻率變化時,存在一個擺幅會呈指數成長的區域。這就是參數共振,對應到圖2中「一個來回站兩次」的動作。與外部施力的一般共振不同,參數共振無法從擺幅為零的靜止狀態自行成長。另一方面,坐姿盪法是靠旋轉上半身與雙腿,對座面與鐵鏈施加週期性的力。這比較接近以與擺動相同頻率施力的強迫振動,據信即使從靜止狀態也能製造出擺動。也有分析指出,實際的坐姿盪法混合了這兩種性質。
研究目前尚未完全解開的課題
- 人實際上是在什麼時機盪的？ 針對成年人所做的測量顯示,隨著擺動變大,盪法的時機也會逐漸出現偏移。這是否就是效率最好的時機,目前仍有爭論。
- 大幅擺動時的最佳盪法。 當擺幅變大,單擺的等時性會被打破,無法再用簡單的公式處理。哪種盪法能最快盪到最高,據信會因條件而有不同答案。
- 小孩沒人教,是怎麼學會盪鞦韆的？ 作為讓自身動作與擺動同步的運動學習題材,鞦韆一直被用於研究。人究竟依賴哪種感覺線索,目前並不清楚。
也就是說,這篇文章的內容,也只是「目前已知範圍內的說明」。就連公園裡的一項遊具,也還留有尚未解開的問題。
與教科書的關聯（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文何處 |
|---|---|---|
| 國中 | 理化・力學能、單擺 | 高度與速度的互換、重心 |
| 高中 | 基礎物理・功與能量／物理・圓周運動 | 低處身體變重的原因、可盪高度的計算 |
| 高中＋ | 物理・角動量（進階） | 站起會變快的原因、角度的增幅 |
| 大學 | 力學・振動理論 | 參數共振與強迫振動的差異 |
| 研究 | 運動學習・非線性振動 | 人的盪法時機、大幅擺動下的最佳化 |
| ― | 與生活的連結 | 公園的鞦韆、用單擺遊玩的實驗 |
- Case, W. B., & Swanson, M. A. (1990). The pumping of a swing from the seated position. American Journal of Physics, 58(5), 463–467.
- Wirkus, S., Rand, R., & Ruina, A. (1998). How to pump a swing. The College Mathematics Journal, 29(4), 266–275.
- Post, A. A., de Groot, G., Daffertshofer, A., & Beek, P. J. (2007). Pumping a playground swing. Motor Control, 11(2), 136–150.
- 高中「基礎物理」「物理」教科書（功與能量、圓周運動、單擺單元）
※本文為大眾科學解說。文中數值僅為幫助理解原理的參考、概算值。使用遊樂設施時,請遵守設施的注意事項與管理者的指示。