向日葵的種子為什麼排成螺旋狀？
― 「最難整除的角度」造就的美
向日葵花謝之後，中心會出現密密麻麻排滿種子、像漩渦般旋轉的圖案。這個圖案很容易被人隨意略過，但只要數一數漩渦的數量，就會發現出現的是一組固定而神奇的數列。據說，這背後與植物一顆一顆增加種子時所用的某個特別角度有關。
你有沒有仔細看過大朵向日葵花謝後、中心擠滿種子的部分呢？種子並不是單純呈放射狀排列，而是形成順時針與逆時針兩種螺旋圖案。
分別數一數順時針螺旋和逆時針螺旋的條數，多數情況下會發現，是 34 條和 55 條，或是 55 條和 89 條這類固定的數字組合。
這是巧合嗎？還是說，植物的生長之中，藏著某種數學上的理由呢？
34、55、89……這些數是前兩個數相加就得到下一個數的費波那契數列這個有名數列的一部分。
據說植物每在中心附近長出一顆新種子，就會把它放在比前一顆種子恰好旋轉相同角度的位置。
接下來，就依序來看看這個「固定角度」的真面目。
數一數漩渦，會出現神奇的數字
實際數數看向日葵種子圖案中的順時針螺旋與逆時針螺旋的條數。多數情況下，會是34 和 55、55 和 89，或是更大的、相鄰兩個數的組合，這在很早以前就有人報告過了。
這些數是費波那契數列這個有名數列的一部分。費波那契數列是依照一條簡單規則形成的：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89……前兩個數相加就得到下一個數。據說這個數列也廣泛出現在其他植物身上，例如松果鱗片的排列、鳳梨表面的圖案。
種子每次旋轉固定的角度，一顆一顆增加
向日葵的種子，是從花中心一個叫做生長點的部位，陸續長出來的。新種子會長在比前一顆剛長出的種子旋轉固定角度的位置，長好的種子則隨著生長，被一點一點往外推。
一般認為，只要重複這條「一邊旋轉、一顆一顆增加」的簡單規則，就會自然產生看起來複雜、像漩渦般的圖案。關鍵在於，這個旋轉的角度，剛好是 137.5 度前後這個特別的值。
它只是以同樣的角度旋轉，一顆一顆地加上種子而已。
為什麼這個角度非得是「黃金角」不可
這個特別的角度叫做黃金角，與自古就為人所知的特別比值黃金比有關。假設加上種子時的旋轉角度是能把 360 度整除的角度，例如 90 度或 120 度，結果會怎樣？種子會排成筆直的放射線，線與線之間就會留下很大的空隙。
不過，黃金角有個性質：不論乘上幾倍，都很難變成整齊的分數，也就是非常「難以整除」。多虧這一點，新種子不會和先前的種子疊在幾乎相同的方向上，也就不會留下空隙，能以最有效率的方式鋪滿，一般是這樣認為的。
「最難整除的數」，反而最不留空隙
在數學上，已知黃金比具有「最難用分數逼近的無理數」這個特別的性質。多虧這個性質，即使一直旋轉黃金角，種子排到相近方向的時刻，也要很久很久才會出現。結果就是在有限的面積內，能把種子排得最密集、毫不浪費。實際上角度是多少，下面的摺疊區塊會用數字來驗證。
螺旋狀的排列，在松果的鱗片、鳳梨的外皮圖案、羅馬花椰菜（外形像漩渦的花椰菜近親）等各種植物身上都觀察得到。一般認為，「每次旋轉黃金角，一個一個加上新部位」這種共通的生長機制，造就了這些圖案。
可以自己動手驗證的事
- 在紙的中心點一個點
- 用量角器，朝從那個點旋轉約 137.5 度的方向，在離中心稍遠的地方點下一個點
- 再朝旋轉 137.5 度的方向，離遠一點點下一個點。這樣重複 20～30 次
- 看看畫好的點的排列，確認螺旋圖案是不是自然浮現出來了
只靠「以相同角度旋轉」這條簡單規則，就能產生像向日葵那樣複雜的圖案，你可以親手體會。
總結
向日葵種子的螺旋圖案，是植物把新種子每次旋轉黃金角（約 137.5 度的固定角度），一顆一顆增加而形成的。黃金角是在數學上具有「最難整除」性質的角度，所以種子之間能排得最無縫隙、最有效率。漩渦的條數會出現費波那契數列的數，一般認為也與黃金角的這個性質有很深的關係。
向日葵的美麗圖案，沒有設計圖。
有的，只是一條老老實實守著單一角度的簡單規則。
想知道更多的人 ― 名詞・數值・與課本的連結從國中理化到研究中的話題，明確標示各屬於哪個程度
- 國中國中數學學到的範圍
- 高中高中「數學B」學到的範圍
- 高中＋高中的「數學」，或課本中屬於進階、專欄的內容
- 大學高中不會學到、大學專業科目（植物發生學）的內容
- 研究連大學也不當作「定論」來教、目前研究者正在探討的話題
國中名詞：與向日葵螺旋有關的詞彙
- 費波那契數列：前兩個數相加就得到下一個數的數列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…）。
- 黃金比：自古被認為很美的特別比值，約 1.618。
- 黃金角：由黃金比決定的、約 137.5 度的特別角度。
高中用算式驗證：黃金角是怎麼算出來的
我們從黃金比的值，實際算出黃金角的角度。
黃金角 ＝ 360° ×（1 － 1 ÷ 黃金比）
| 黃金比 | 一般熟知的值，約為 1.618 |
| 黃金角 | 單位是度（°） |
| 1 ÷ 黃金比 | 1 ÷ 1.618 ≒ 0.618 |
| 用 1 去減 | 1 − 0.618 ＝ 0.382 |
| 乘上 360 | 360 × 0.382 ≒ 137.5 |
| 黃金角 | 約 137.5° |
計算結果，確實求得 137.5° 左右，也就是向日葵種子旋轉角度中觀察到的值。
我們也來驗證，費波那契數列中相鄰兩數的比，會愈來愈接近黃金比。
| 55 與 34 的比 | 55 ÷ 34 ≒ 1.618 |
| 55 與 34 的比 | 約 1.618（與黃金比幾乎一致） |
費波那契數列的數愈大，相鄰兩數的比就愈來愈接近黃金比，這是它的一項性質。向日葵的漩渦條數會出現費波那契數列，一般認為是因為黃金角本身，與這個數列有著密不可分的關係。
※ 黃金比的值（1.618）是常用的近似值。實際的值是無限延續的小數（無理數）。
高中＋黃金比是「最不容易變成分數」的數
用把數逼近成分數（連分數）的方法，可以證明黃金比是「擁有最簡單的連分數、最難逼近的無理數」。這個性質，直接連結到即使一直旋轉黃金角，也很難回到原本方向這個現象。
大學植物是怎麼實現這個「角度」的
在植物發生學領域，一般認為一種植物荷爾蒙（生長素）在決定生長點上新種子、新葉子的原始位置時，扮演著重要角色。有人提出的數學模型指出，生長素會從已經存在的種子、葉子原基處被排斥開來分布，結果使得下一個種子、葉子原基容易長在接近黃金角的位置。
研究目前還不清楚的事
- 植物在細胞層級是如何感知生長素的分布，並精確實現接近黃金角的角度，詳細的分子機制仍是植物發生學領域持續研究中的主題。
- 也有報告指出，少數植物會呈現偏離黃金角、不符合費波那契數列的圖案，而這類「例外」為什麼會出現，同樣是研究的對象。
- 以黃金角為基礎的配置，作為在有限面積內有效排列物體的方法，也正被研究應用在太陽能板配置等工程領域。這是想把植物的智慧用在人工設計上的嘗試。
身邊向日葵圖案的背後，是數學與生物學交會、至今仍在研究的豐富主題。
與課本的連結（依程度）
| 程度 | 科目・單元 | 本文哪個部分 |
|---|---|---|
| 國中 | 數學・規律與數列 | 費波那契數列、黃金比的基本名詞 |
| 高中 | 數學B・數列 | 由黃金比求黃金角的計算、費波那契數比值的收斂 |
| 高中＋ | 數學・連分數（進階） | 黃金比「最難逼近」的性質 |
| 大學 | 植物發生學 | 以生長素控制種子、葉子配置的模型 |
| 研究 | 植物發生學・數理工程（研究中） | 分子機制的解明、黃金角配置的工程應用 |
- 數學相關教科書中，關於費波那契數列與黃金比的解說。
- 植物學相關資料中，關於葉序（phyllotaxis）與黃金角的解說。
- 植物發生學領域中，關於以生長素決定原基配置的數學模型之研究回顧。
- 數學史相關文獻中，關於黃金比的連分數表示與難以逼近性質的解說。
- 工程領域中，關於應用黃金角配置於太陽能板配置的研究回顧。
※ 黃金比、黃金角的數值是常用的近似值。漩渦的條數，也可能因個體與生長條件而不同。
※本文為一般大眾的科學解說。觀察植物時，請遵守禮儀，例如事先取得栽種者或所有者的同意。