Pourquoi les graines de tournesol forment-elles des spirales ?
― La beauté née de l’« angle le plus irrationnel »
Quand la fleur de tournesol se fane, le centre révèle des graines serrées les unes contre les autres, en un motif tourbillonnant. On passerait facilement devant sans y prêter attention. Pourtant, si l’on compte les spirales, on retrouve une curieuse suite de nombres bien précise. L’explication tiendrait à un angle très particulier, utilisé par la plante pour ajouter ses graines une à une.
Avez-vous déjà observé longuement le centre d’un grand tournesol défleuri, rempli de graines ? Les graines ne sont pas simplement alignées en rayons : elles dessinent deux familles de spirales, l’une dans le sens des aiguilles d’une montre, l’autre dans le sens inverse.
Comptons les spirales de chaque sens. On trouve le plus souvent une paire de nombres bien précise, comme 34 et 55, ou 55 et 89.
Est-ce un hasard ? Ou une raison mathématique se cache-t-elle dans la croissance de la plante ?
34, 55, 89… font partie d’une célèbre suite, la suite de Fibonacci, où chaque nombre est la somme des deux précédents.
Chaque fois que la plante forme une nouvelle graine près du centre, elle la place, dit-on, exactement au même angle de rotation par rapport à la graine précédente.
Voyons, pas à pas, ce que cache cet « angle fixe ».
En comptant les spirales, des nombres étonnants apparaissent
Comptons les spirales dans le sens horaire et dans le sens antihoraire du motif des graines. On trouve le plus souvent 34 et 55, 55 et 89, ou des nombres plus grands encore : toujours deux nombres voisins. On le signale depuis longtemps.
Ces nombres appartiennent à une célèbre suite : la suite de Fibonacci. Elle se construit par une règle simple : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… chaque nombre est la somme des deux précédents. On la retrouve aussi, dit-on, chez d’autres plantes, par exemple dans les écailles des pommes de pin ou sur la peau de l’ananas.
Les graines s’ajoutent une à une, avec une rotation d’un angle fixe
Les graines de tournesol naissent l’une après l’autre à partir d’une zone au centre de la fleur, appelée point de croissance. Chaque nouvelle graine apparaît tournée d’un angle fixe par rapport à la graine formée juste avant, puis, en grandissant, elle est peu à peu repoussée vers l’extérieur.
En répétant simplement cette règle, « tourner puis ajouter une graine », un motif en apparence complexe, en tourbillon, naît tout seul, pense-t-on. L’essentiel est que cet angle de rotation vaille précisément environ 137,5 degrés, une valeur très particulière.
Il ajoute simplement ses graines une à une, en tournant toujours du même angle.
Pourquoi cet angle doit-il être l’« angle d’or » ?
Cet angle particulier s’appelle l’angle d’or. Il est lié au nombre d’or, un rapport connu depuis l’Antiquité. Imaginons que l’angle de rotation divise exactement 360 degrés, comme 90 ou 120 degrés. Alors les graines formeraient des rayons bien droits, avec de grands vides entre eux.
L’angle d’or, lui, a la propriété d’être très « indivisible » : quel que soit le nombre de fois qu’on le multiplie, on obtient difficilement une fraction simple de 360 degrés. Grâce à cela, une nouvelle graine ne se retrouve presque jamais dans la même direction qu’une graine plus ancienne : il n’y a pas de vides, et le remplissage est le plus efficace possible, pense-t-on.
Le nombre « le plus irrationnel » est celui qui laisse le moins de vides
On sait qu’en mathématiques le nombre d’or est « l’irrationnel le plus difficile à approcher par des fractions ». Grâce à cette propriété, même en tournant sans cesse de l’angle d’or, les graines mettent extrêmement longtemps à se retrouver dans des directions semblables. Résultat : on peut loger les graines le plus densément possible, sans gaspiller de place, dans une surface limitée. La section repliable ci-dessous vérifie chiffres en main la valeur de cet angle.
On observe des agencements en spirale dans les pommes de pin, sur la peau des ananas, chez le chou romanesco (un cousin du chou-fleur en spirale) et chez bien d’autres plantes. Un même mécanisme de croissance, « ajouter chaque nouvelle pièce une à une en tournant de l’angle d’or », produirait ces motifs.
Ce que vous pouvez vérifier vous-même
- Marquez un point au centre de la feuille.
- Avec un rapporteur, marquez le point suivant dans une direction tournée d’environ 137,5 degrés par rapport au premier, un peu à l’écart du centre.
- Tournez encore de 137,5 degrés et marquez un nouveau point, un peu plus loin. Répétez 20 à 30 fois.
- Regardez la disposition obtenue et constatez que des spirales apparaissent naturellement.
Avec la seule règle « tourner toujours du même angle », vous constaterez de vos propres mains que des motifs aussi complexes que ceux du tournesol peuvent naître.
En résumé
La spirale des graines de tournesol naît du fait que la plante ajoute ses graines une à une, en tournant chaque fois d’un angle fixe, l’angle d’or, d’environ 137,5 degrés. L’angle d’or est un angle qui, mathématiquement, se laisse le moins « diviser » ; les graines s’ordonnent donc sans vides et de façon efficace. Si des nombres de la suite de Fibonacci apparaissent dans le comptage des spirales, c’est que cela est profondément lié à cette propriété de l’angle d’or, pense-t-on.
Le beau motif du tournesol n’a pas de plan.
Il n’a qu’une règle simple : rester fidèle à un seul angle.
Pour aller plus loin ― termes, valeurs et liens avec les manuelsDu collège aux sujets de recherche : le niveau de chaque passage est indiqué
- CollègeAu programme de maths du collège
- LycéeAu programme de « mathématiques B » du lycée
- Lycée+Mathématiques du lycée, ou contenu approfondi/encadré des manuels
- Univ.Matière spécialisée du supérieur, non vue au lycée (biologie du développement des plantes)
- RechercheSujet que les chercheurs étudient en ce moment, non enseigné comme acquis, même à l’université
CollègeVocabulaire : les mots de la spirale du tournesol
- Suite de Fibonacci : suite de nombres où chacun est la somme des deux précédents (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…).
- Nombre d’or : rapport particulier, jugé beau depuis longtemps. Environ 1,618.
- Angle d’or : angle particulier d’environ 137,5 degrés, déduit du nombre d’or.
LycéeVérifier par la formule : comment calcule-t-on l’angle d’or ?
À partir du nombre d’or, calculons concrètement l’angle d’or.
Angle d’or ＝ 360° ×（1 － 1 ÷ nombre d’or）
| Nombre d’or | Valeur bien connue : environ 1,618 |
| Angle d’or | L’unité est le degré (°) |
| 1 ÷ nombre d’or | 1 ÷ 1,618 ≒ 0,618 |
| Soustraire de 1 | 1 − 0,618 ＝ 0,382 |
| Multiplier par 360 | 360 × 0,382 ≒ 137,5 |
| Angle d’or | environ 137,5° |
Le calcul donne bien une valeur proche de 137,5°, celle que l’on observe pour la rotation des graines de tournesol.
Vérifions aussi que le rapport de deux nombres voisins de la suite de Fibonacci se rapproche du nombre d’or.
| Rapport de 55 à 34 | 55 ÷ 34 ≒ 1,618 |
| Rapport de 55 à 34 | environ 1,618 (presque égal au nombre d’or) |
Plus les nombres de la suite de Fibonacci sont grands, plus le rapport de deux nombres voisins se rapproche du nombre d’or. Si la suite de Fibonacci apparaît dans les spirales du tournesol, c’est, pense-t-on, parce que l’angle d’or lui-même est indissociable de cette suite.
※ La valeur du nombre d’or (1,618) est une approximation courante. La valeur réelle est un nombre décimal infini (un irrationnel).
Lycée+Le nombre d’or est le nombre « le plus difficile à approcher par des fractions »
Avec la méthode d’approximation par fractions (fractions continues), on peut montrer que le nombre d’or est « l’irrationnel le plus difficile à approcher, celui dont la fraction continue est la plus simple ». Cette propriété explique directement que même en tournant sans cesse de l’angle d’or, on ne revient presque jamais dans la direction de départ.
Univ.Comment la plante réalise-t-elle cet « angle » ?
En biologie du développement des plantes, on pense qu’une hormone végétale (l’auxine) joue un rôle important pour fixer la position des futures graines ou feuilles au point de croissance. Un modèle mathématique propose que l’auxine, repoussée par les ébauches déjà présentes, se répartisse de sorte que la prochaine ébauche apparaisse plus facilement près de l’angle d’or.
RechercheCe qui reste flou
- Le mécanisme moléculaire précis par lequel la plante perçoit, à l’échelle cellulaire, la répartition de l’auxine et obtient un angle très proche de l’angle d’or est un sujet toujours étudié en biologie du développement des plantes.
- On a aussi signalé, rarement, des plantes s’écartant de l’angle d’or, avec des motifs qui ne suivent pas la suite de Fibonacci ; comprendre pourquoi ces « exceptions » surviennent est aussi un objet de recherche.
- Les agencements fondés sur l’angle d’or, méthode pour ranger efficacement des objets sur une surface limitée, font aussi l’objet de recherches appliquées en ingénierie, par exemple pour disposer des panneaux solaires. Il s’agit de tirer parti de la sagesse des plantes dans des conceptions artificielles.
Derrière le motif familier du tournesol s’étend un riche sujet, à la croisée des maths et de la biologie, encore en cours d’étude.
Liens avec les manuels (par niveau)
| Niveau | Matière et chapitre | Où dans cet article |
|---|---|---|
| Collège | Maths : régularités et suites | Vocabulaire de base : suite de Fibonacci, nombre d’or |
| Lycée | Maths B : suites | Calcul de l’angle d’or à partir du nombre d’or ; convergence du rapport des nombres de Fibonacci |
| Lycée+ | Maths : fractions continues (approfondissement) | Propriété du nombre d’or : le plus difficile à approcher |
| Univ. | Biologie du développement des plantes | Modèle de contrôle de la position des graines et feuilles par l’auxine |
| Recherche | Biologie du développement, maths appliquées (en cours) | Élucidation du mécanisme moléculaire, applications techniques de l’angle d’or |
- Explications sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or dans les manuels de mathématiques.
- Explications sur la phyllotaxie et l’angle d’or dans les ressources de botanique.
- Revue de recherche en biologie du développement des plantes sur les modèles mathématiques de positionnement des ébauches par l’auxine.
- Explications, dans des ouvrages d’histoire des mathématiques, sur la fraction continue du nombre d’or et sa difficulté d’approximation.
- Revue de recherche en ingénierie sur l’application de l’angle d’or à la disposition des panneaux solaires.
※ Les valeurs du nombre d’or et de l’angle d’or sont des approximations courantes. Le nombre de spirales peut aussi varier selon les individus et les conditions de croissance.
※ Cet article est une explication scientifique grand public. Si vous observez des plantes, respectez les usages : demandez par exemple l’autorisation du cultivateur ou du propriétaire.