陀螺為什麼轉動時不會倒下？
― 想讓它倒下的力,因為旋轉而被「推向橫向」
靜止的陀螺,手一放開就會倒下。可是正在旋轉的陀螺,即使稍微傾斜也不會倒。這並不是因為重力消失了。對一個正在旋轉的物體施力,那個力不會用在「讓它倒下」,反而會變成「讓它橫向轉動」。
你轉了陀螺給孩子看,孩子問:「為什麼它不會倒？」你回答:「因為它在轉啊。」結果孩子又問:「為什麼在轉就不會倒？」
仔細看,陀螺會維持些微傾斜,頭部慢慢畫著圓圈擺動。即使如此,它也不會倒在地上。
等轉速變慢後,頭部的擺動會突然變快、變大。最後陀螺會搖搖晃晃地倒在地上滾動。這一連串動作,其實都有明確的原因。
原因只有兩個
重力想讓旋轉中的陀螺倒下時,陀螺不會倒下,而是讓頭部橫向轉動。重力被用來持續驅動這個擺頭動作。
轉速越快,同樣大小的重力所造成的方向改變就越小。轉速變慢後,擺頭會變快、變大,一旦低於某個速度,就撐不住而倒下。
大人常常用「因為它在轉」一句話帶過,接下來我們依序來看清楚。
重力為什麼會變成「橫向」的力？
先想想靜止的陀螺。稍微傾斜時,重力作用在中心,以尖尖的腳尖為支點,想讓它倒下。靜止時,它就會這樣倒下。
旋轉中的陀螺情況不同。請注意陀螺邊緣的某一部分。那個部分即使現在在上方,也會立刻因旋轉被帶到旁邊。重力「向下推」的效果,會在被推的部分旋轉移動到的地方顯現出來。
結果,陀螺整體不是「倒下」,而是軸的方向「橫向偏移」。這個動作不斷重複,軸尖就會畫出一個圓圈旋轉。圖1上方的虛線,就是那條軌跡。這種擺頭動作稱為「進動(歲差運動)」。
轉速變慢為什麼會倒下？
陀螺「旋轉的勢頭」,轉速越快就越大。重力改變軸方向的量,每秒幾乎相同。勢頭越大,從整體來看這個改變就越小,擺頭就越慢。
因為與地面的摩擦或空氣阻力,轉速下降時,勢頭也會減少。這樣一來,同樣大小的重力就能讓軸偏移更多,擺頭會變快。用圖2的旋鈕降低轉速,可以看到擺頭繞一圈所需的時間會變短。
在本文的模型陀螺中,一旦低於每秒約8轉,就無法穩定維持擺頭動作。頭部會開始大幅晃動,最終邊緣碰到地面而倒下。
用力轉動的陀螺,一開始即使傾斜,過一段時間後也可能自己立直並安靜地旋轉。這被解釋為腳尖與地面之間的摩擦,作用在讓軸立直的方向。這種看起來像立直靜止的狀態,自古就被稱為「陀螺睡著了」。
地球的自轉軸,也受月球與太陽牽引,花費約2萬6千年畫出一個圓圈。因此扮演北極星角色的星星,在漫長歲月中會不斷更換（北極星的文章）。
總結
旋轉中的陀螺,想讓它倒下的重力依然在作用。只不過因為旋轉,這個力被用在「讓它橫向擺頭」而不是「讓它倒下」。轉得越快,擺頭就越慢、越小;轉速下降後,擺頭變快、變大,最終倒下。
陀螺不是不會倒,
而是靠旋轉不斷把想倒下的方向,偏往橫向。
行駛中的自行車不會倒下的原理,和陀螺有些不同。可以在自行車的文章讀到,另一個旋轉物體改變方向的例子,則在打水漂的文章中。
- 把陀螺稍微傾斜轉動,用手機的計時器測量頭部繞一圈所需的時間。
- 等一下,等轉速變慢後,再測一次繞一圈的時間。後面測到的時間應該會變短。
- 用慢動作拍攝影片,可以看到快倒下之前擺頭突然變快、變大的樣子。
數轉速很難,只要比較「剛開始轉」和「快停下來」這兩個時刻就足夠了。請選擇光滑平坦的地面進行。
想了解更多 ― 用語、公式、與教科書的連結從國中理化到大學專業科目,明確標示這是哪個層級的內容
- 國中國中理化課學習的範圍
- 高中高中「物理」課學習的範圍
- 高中＋高中進階內容,或教科書專欄層級的內容
- 大學高中不會教的,大學專業科目（力學、剛體力學）的內容
- 研究即使在大學也還不當作「定論」教授,目前研究人員正在探討的內容
國中用語：這個現象有名字
- 進動（歲差運動）：旋轉物體的軸,緩慢畫圓改變方向的動作。也就是陀螺的擺頭現象。
- 角動量：表示旋轉「勢頭」的量。是轉動慣量（不易轉動的程度）與轉速的乘積。
- 力矩（扭矩）：讓物體轉動的作用力大小。是力與距支點距離的乘積。
國中高中用公式驗證：擺頭一圈要多少秒？
假設一個直徑6公分、重50公克的圓盤陀螺,以每秒20轉旋轉。重心位於距腳尖高2公分處。我們來計算擺頭一圈所需的時間。
| 用符號表示 | Ω ＝ m × g × r ÷ ( I × ω )，擺頭一圈的時間 T ＝ 2π ÷ Ω |
| 用文字表示 | 擺頭速度 ＝ 重力造成的轉動作用 ÷ 旋轉的勢頭 |
| 公式的來源 | 來自「力矩每秒會改變多少旋轉勢頭（角動量）」的轉動運動定律。當重力的作用只持續改變勢頭的方向（橫向）時,就會得出這個形式。 |
| 符號 | 意義與單位 |
| m | 陀螺的質量（kg） |
| g | 重力加速度（m/s²） |
| r | 從腳尖到重心的距離（m） |
| I | 繞軸的轉動慣量（kg·m²） |
| ω | 轉動角速度（每秒轉動角度，弧度／秒） |
| Ω | 擺頭角速度（弧度／秒） |
| 陀螺質量 | 0.05 kg |
| 圓盤半徑 | 0.03 m |
| 重心高度 | 0.02 m |
| 重力加速度 | 9.8 m/s² |
| 轉速 | 每秒20轉 |
| 圓盤的轉動慣量 | 為質量與半徑平方乘積的一半 |
| 半徑的平方 | 0.03 × 0.03 ＝ 0.0009 |
| 乘上質量 | 0.05 × 0.0009 ＝ 0.000045 |
| 取一半得轉動慣量 | 0.000045 ÷ 2 ＝ 0.0000225 |
| 角速度（一轉約6.28弧度） | 20 × 6.28 ＝ 125.6 |
| 旋轉勢頭（角動量） | 0.0000225 × 125.6 ≒ 0.002826 |
| 重力（牛頓） | 0.05 × 9.8 ＝ 0.49 |
| 重力造成的轉動作用 | 0.49 × 0.02 ＝ 0.0098 |
| 擺頭角速度 | 0.0098 ÷ 0.002826 ≒ 3.47 |
| 擺頭一圈的時間（秒） | 6.28 ÷ 3.47 ≒ 1.81 |
擺頭一圈約1.8秒。與圖2白點的初始位置數值相同。若轉速降到每秒10轉,勢頭會減半,擺頭一圈約0.9秒,速度變成2倍。實際陀螺「快停下來時擺頭變快」的現象,就是這種比例關係造成的。
高中高中＋用箭頭思考力如何變成「橫向」
高中高中物理課會學到,力讓物體轉動的作用稱為「力矩」。傾斜的陀螺中,重力與地面的支撐力,會產生讓陀螺倒下方向的力矩。
高中＋旋轉的勢頭可以用「指向軸方向的箭頭」表示。力矩同樣用箭頭表示時,方向是水平的,且與勢頭的箭頭垂直。持續加上垂直方向的箭頭,勢頭箭頭的長度不變,只有方向會旋轉。這就是擺頭現象的真相。
大學剛體旋轉與歐拉運動方程式
在大學力學中,陀螺被視為「剛體的旋轉」來處理。精確的運動要用歐拉運動方程式,或使用歐拉角的拉格朗日形式來求解。上面的公式,是轉速足夠快時的近似（迴轉儀近似）。本模型中陀螺倒下的臨界值約每秒8轉,是從稱為「睡陀螺穩定條件」的不等式估算出來的。軸方向的小幅上下晃動稱為「章動」。
📖 公式推導與更進一步的內容：歲差運動（維基百科） ／ 角動量（維基百科）
研究目前仍不清楚的事
- 腳尖摩擦的精確處理 腳尖與地面之間,滑動與滾動如何混合,會因條件而大幅變化,至今仍難以精確預測陀螺立起的速度。
- 翻轉的陀螺（倒立陀螺） 有一種陀螺轉動後會上下顛倒。其機制大致可用摩擦來解釋,但過程中的細節動作現在仍是研究對象。
- 停止前的行為 轉速完全下降前,與地面接觸變得斷續的動作,據說無法用簡單公式完全表示。
也就是說,本文的內容也是「目前已知範圍內的說明」。擺頭本身自古就已被解開,但涉及地面摩擦的部分仍留有未解之處。
與教科書的連結（依層級）
| 層級 | 科目・單元 | 本文對應位置 |
|---|---|---|
| 國中 | 理化・力的作用 | 重力在中心向下作用 |
| 高中 | 物理・剛體的平衡（力矩） | 讓傾斜陀螺倒下的作用力 |
| 高中＋ | 物理進階・角動量 | 只有勢頭箭頭方向改變的內容 |
| 大學 | 力學・剛體旋轉 | 歐拉運動方程式、睡陀螺穩定條件 |
| 研究 | 非線性力學・摩擦力學 | 立起、倒立陀螺、停止前的動作 |
| ― | 與生活的連結 | 玩陀螺、地球自轉軸的緩慢擺頭 |
- Landau・Lifshitz『力學』（東京圖書）剛體運動章節
- 戸田盛和『コマの科学』（陀螺的科學，岩波書店）
- Feynman・Leighton・Sands『費曼物理學 I 力學』（岩波書店）旋轉章節
- 歲差 - 維基百科
※本文為一般大眾取向的科學解說。文中數值僅為理解機制用的概略估算值。陀螺的大小、形狀及地面材質,都會影響擺頭速度與倒下時的轉速。