把石頭丟進池塘，為什麼會冒出一圈圈圓形的水紋？
― 動的不是水，而是「搖晃」本身
石頭落下的那一點，水紋緩緩向外擴散開來，看起來就像水被往外推開一樣。但浮在水紋上的葉子，幾乎沒有離開原本的位置。向外前進的並不是水本身，而是「搖晃」這根接力棒。
公園池塘邊，一個孩子把小石子撲通一聲丟進水裡。落點處冒出圓形的水紋，慢慢地擴大。
如果被問到「為什麼不會變成四方形或星形？」「水都跑到哪裡去了？」，你能好好回答嗎？
仔細看的話，水紋並不只有一圈。越往外圈數越多，同時逐漸變低、消失。這小小的水紋，其實完整濃縮了「波」這個東西的運作原理。
理由只有兩個
池塘的水面沒有「這個方向比較容易傳過去」這種偏向性。從一點發出的搖晃，會朝所有方向以相同速度前進。把同一時間、前進相同距離的點連起來，就會形成一個圓。
水的粒子只是在原地畫小圈,再回到原本的位置。它把旁邊的水往上推,只是把「搖晃」傳遞出去而已。所以葉子不會被沖走,只會上下晃動。
讓我們一項一項來看。
為什麼是圓形,而不是四方形?
石頭落入水中時,落點處的水會被壓下去。於是周圍的水就會隆起。隆起的水因為重量而想要下降,這時又會把更外側的水往上頂起。
這種「頂起又下降」的反覆過程,把搖晃向外傳遞出去。池塘的水,不論北邊還是南邊都是同樣的水,深度也相同。所以搖晃前進的速度,不論朝哪個方向都不會改變。
想像運動會上,所有人從中心以相同速度同時起跑的畫面。幾秒後把大家的位置連成線,就會變成一個圓。水面的水紋也是同樣的道理。圖1左側是從上方看水紋的樣子。
如果在有水流的河川試試同樣的事,水紋會整個被沖往下游。即便如此,水紋依然保持圓形。因為只是整片水一起流動,水中搖晃的傳遞方式,不論哪個方向都是一樣的。
反過來說,水紋會變形,是在水深因地點而異的時候。較淺的地方波速會變慢,所以只有那一側的水紋會凹陷。海浪之所以總是與岸邊大致平行地打上來,也是同樣的原理。
水沒有向外流動嗎?
請看圖1右側。水面的波峰會向右前進。但水的粒子一個個都只是畫出像點線那樣的小圓,幾乎回到原本的位置。
回想一下在體育場裡,觀眾依序起立又坐下的「波浪舞」。波浪會繞場一周,但沒有任何一個人移動了座位。池塘的水紋也是一樣,並不是水在移動,而只是「站起來、坐下」的動作被傳遞給了隔壁的人。
所以水紋上的葉子,波峰來時就被抬起,波谷來時就下降,僅此而已。真正被帶往遠方的,是石頭賦予水的「搖晃的能量」。
水紋越往外越低,也可以用這個道理來解釋。水紋變大,圓周就變長。同樣份量的搖晃,要由更長的圓周來分攤,所以每個地方分到的搖晃就變小了。再加上水中的微小摩擦,搖晃會一點一點轉變成熱而消失。
為什麼水紋不只一圈,而是變成好幾圈?
石頭引起的搖晃,並不是單一種類的波。從長波（波峰與波峰間隔較寬的波）到細小的漣漪,混雜了各種長度的波。
而水面的波,前進速度會因波長而異。圖2顯示波長與速度的關係。長波受重量恢復力的影響較大,波長越長前進越快。
另一方面,數毫米的細小波紋,則是由水面想要收縮的力量（表面張力）主導。這時剛好相反,波長越短反而越快。介於兩者之間、約1.7公分的波,據說速度最慢。
速度不同的波一起出發時,隨著時間經過會逐漸前後分開。原本聚在一起的搖晃,就這樣解開成好幾圈水紋。從遠方風暴傳來的「湧浪」,長波會先抵達,也是同樣的道理。
同時丟下兩顆石頭,會形成兩組水紋互相重疊。重疊的地方,波峰與波峰相加,變得更高或互相抵消。但通過之後,每一組水紋依然若無其事地保持圓形繼續前進。正因為被傳遞的是搖晃而不是水,所以才能互相穿越。
總結
池塘水紋之所以是圓形,是因為水面朝任何方向傳遞搖晃的速度都相同。向外前進的不是水,而是搖晃這根接力棒,水的粒子只在原地畫小圈。水紋會變成好幾圈,是因為不同長度的波以不同速度前進,逐漸分散開來。
水,幾乎沒有移動。
在旅行的,只有「搖晃」而已。
水深不同導致波彎曲的原理,詳見「海浪為什麼總是幾乎與岸邊平行地打上來?」；長波先抵達的話題,請看「明明沒有風,為什麼會突然出現高浪?」；石頭拍打水面的故事,收錄在「石頭為什麼能在水面上彈跳好幾次?」。杯中水面自己來回晃動的話題,請見「端著咖啡走路,為什麼會灑出來?」。
- 在洗臉盆裡裝水,等一會兒讓水面靜止下來。在水面上浮一張剪小的紙片。
- 在離紙片稍遠的地方,用指尖滴一滴水。觀察水紋經過紙片下方時,紙片是只上下晃動,還是被沖走了。
- 接著,同時在兩個相隔一段距離的地方各滴一滴水。觀察兩組水紋重疊之後,是否依然各自保持圓形前進。
在水面附近打光,觀察洗臉盆底部映出的明亮水紋陰影,會讓搖晃的形狀更容易看清楚。
想知道更多的人請看 ― 用語・數學式・與教科書的關聯從國中理化到大學專業科目,明確標示是哪個程度的內容
- 國中國中理化課會學到的範圍
- 高中高中「物理」課會學到的範圍
- 高中＋高中的延伸內容,或教科書專欄介紹的內容
- 大學高中不會教,屬於大學專業科目（流體力學・波動論）的內容
- 研究就連大學也不會當作「定論」來教,是研究者目前正在調查中的內容
國中用語：這個現象是有名字的
- 波（波動）：物質本身不會被搬運,只有搖晃（振動）依序傳遞出去的現象。聲音和地震的搖晃也都是波。
- 介質：傳遞波的物質。池塘水紋中,水就是介質,介質本身只在原地振動。
- 波長：從一個波峰到下一個波峰的距離。也就是本文中所說的「波的長度」。
- 表面張力：液體表面盡量想要縮小面積的性質。它是讓細小漣漪恢復原狀的力量。
國中高中用算式確認：波長10公分的波,速度大約多快?
在深水中,以重量為主導力量的波,速度可以表示為：速度 ＝ √（重力加速度 × 波長 ÷ 圓周率的2倍）。用符號寫出來如下。
| 符號 | 意義與單位 |
| v | 波峰前進的速度（公尺／秒） |
| g | 重力加速度（約9.8公尺／秒／秒） |
| λ | 波長（公尺） |
| 重力加速度 | 9.8 |
| 波長（10公分） | 0.1 公尺 |
| 圓周率的2倍 | 6.28 |
| 重力加速度乘以波長 | 9.8 × 0.1 ＝ 0.98 |
| 除以圓周率的2倍 | 0.98 ÷ 6.28 ≒ 0.156 |
| 開平方根（0.39乘以2次約等於0.156） | 0.39 × 0.39 ≒ 0.152 |
| 抵達2公尺外岸邊所需時間（秒） | 2 ÷ 0.39 ≒ 5.1 |
波長10公分的波,前進速度約為秒速0.39公尺。抵達2公尺外的岸邊約需5秒。大約是人慢走速度的三分之一,所以用眼睛就能追蹤得到。
| 半徑10公分水紋的圓周（公尺） | 6.28 × 0.1 ≒ 0.63 |
| 半徑1公尺水紋的圓周（公尺） | 6.28 × 1 ＝ 6.28 |
| 圓周變成幾倍 | 6.28 ÷ 0.63 ≒ 10 |
同樣的搖晃能量要由10倍長的圓周來分攤,所以每個地方分到的能量約變成十分之一。波高與能量的平方根成正比,所以波高約變成三分之一（這是排除摩擦損耗後的參考值）。
高中高中＋惠更斯原理,以及水粒子的圓周運動
高中高中物理中,認為波前上的每一點都會成為新的小波源（惠更斯原理）。在速度處處相同的介質中,從一點發出的波前會形成圓形（若是立體則為球形）。水深改變時速度也會改變,波前因此彎曲,這就是折射。
高中＋水面的波,是縱波與橫波混合而成的形式。在深水中,水的粒子幾乎畫出圓形,而這個圓會隨著深度增加而急速變小。據說在約波長一半的深度,搖晃就已經相當微弱。在較淺的水窪中,粒子的軌跡會變成扁平的橢圓,速度則會趨近於只由水深決定的 √（重力加速度 × 水深）。
大學頻散關係與群速度
深水表面波的角頻率,可用波數表示為「重力項」與「表面張力項」之和。這稱為頻散關係。水的表面張力約為每公尺0.072牛頓,在兩項達到平衡的波長約1.7公分處,相速度達到最小值（秒速約23公分）。在重力波中,群速度是相速度的一半,所以看起來就像波峰在水紋群中從後方追過前方然後消失。一點的初始凹陷如何隨時間擴散開來,自古以來便以柯西・帕松問題進行分析。
研究尚未完全弄清楚的事
- 石頭入水方式與水紋圖案的對應關係。 石頭落入水中時會形成空氣穴,穴洞崩塌後水柱會反彈回來。這個複雜的過程,究竟會產生多少哪種波長的波,精確預測至今仍是持續研究的領域。
- 水面薄膜抑制漣漪的強度。 油或生物來源的薄膜會削弱漣漪,這件事自古就廣為人知（詳見「在海上撒油,真的能讓洶湧的波浪平靜下來嗎?」）。不過,要對天然池塘或海洋中的薄膜能削弱多少波浪做出定量估計,據說並不容易。
- 雨對海面漣漪的影響。 人造衛星雷達會從細小漣漪的反射來推估海上的風。雨滴形成的水紋會如何干擾這項推估,目前正從觀測與理論兩方面進行調查。
也就是說,本文的內容也只是「目前已知範圍內的說明」。池塘水紋這個身邊常見的現象背後,仍留有尚未完全解開的問題。
與教科書的關聯（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文位置 |
|---|---|---|
| 國中 | 理化第一部「聲音的性質」（振動的傳遞） | 搖晃的接力棒、葉子不會被沖走的原因 |
| 高中 | 物理「波的性質」（惠更斯原理・疊加原理） | 水紋變成圓形的原因、兩組水紋互相穿越 |
| 高中＋ | 物理延伸內容（水面波粒子的運動） | 水粒子的圓周運動、淺水中的速度 |
| 大學 | 流體力學・波動論（頻散關係・群速度） | 圖2的曲線、水紋變成好幾圈的原因 |
| 研究 | 介面物理學・海洋遙測 | 入水過程、表面薄膜、雨與雷達 |
| ― | 與生活的連結 | 水邊觀察、湧浪的抵達、地震與聲波的理解 |
- 《費曼物理學講義》第1卷第51章「波」（包含水面波的說明）
- 萊特希爾《Waves in Fluids》（劍橋大學出版社）
- 國立天文台 編《理科年表》（水的表面張力）
- 英文版維基百科「表面張力波（毛細波）」
- 高中物理教科書「波的性質」單元
※本文為大眾科普解說。文中數值為理解原理用的參考・概算值。觀察活動在家中的洗臉盆等就能充分進行。若在戶外池塘或河川嘗試,請勿探身出岸邊,並遵守設施或地方政府的注意事項。