跳蚤為什麼能跳到自己身體好幾十倍高的地方？
― 其實跳蚤、蝗蟲、人類能跳的高度，幾乎都一樣
「如果跳蚤有人類那麼大，就能一躍跳過高樓大廈」。這句話常被提起，但其實只是計算方式造成的錯覺。若直接比較實際高度，跳蚤和人類大概都在數十公分左右。跳蚤真正厲害的，不是高度，而是跳躍的「速度」。
在寵物的毛裡，看到一個比芝麻還小的黑點。手指一靠近，那個點瞬間消失，眼睛根本追不上。
牠的體長只有大約2毫米，卻能跳到接近地面20公分高的地方。以體型比例換算，大約是90倍。
換算到人類身上，相當於垂直跳到150公尺高。難道這種小小的昆蟲，擁有人類沒有的特殊力量嗎？
答案的關鍵有兩個
跳躍的力量來自肌肉。體型變大，肌肉也會按同樣比例增加，要抬起的體重也會按同樣比例增加。兩者相抵之後，能跳的高度幾乎相同。
跳蚤的腿很短，能用來蹬地的時間只有大約千分之一秒。肌肉沒辦法收縮這麼快，所以牠們會先把力量儲存在彈簧裡，再一口氣釋放出來。
「體長的多少倍」這種比較方式，除數（體長）越小，算出來的倍數就越大。而高度本身，其實是很普通的數值。讓我們依序來看看。
為什麼體型不同，跳躍高度卻一樣？
決定跳躍高度的，是離開地面那一瞬間的速度，這叫做「起跳速度」。就像把球垂直往上拋一樣，飛出去的速度越快，就能飛得越高。
那麼，起跳速度又是由什麼決定的呢？產生速度的，是腿部肌肉所做的功。據研究，每1公斤肌肉所能輸出的功，無論是跳蚤還是人類,差異都不大。
體重重10倍的動物，肌肉量大概也是10倍，能輸出的功也是10倍。但要帶動的體重也是10倍，所以分配到每1公斤體重的功，就會一樣。因此起跳速度，以及能跳的高度，也幾乎相同。
我們用圖1來驗證一下。調整旋鈕改變起跳速度，能跳的高度也會跟著改變。跳蚤以秒速1.9公尺起跳，約可跳18公分；人類以秒速2.5公尺起跳，約可跳32公分。體型相差將近一千倍，但高度的差距卻不到2倍。
跳蚤「體長的90倍」，是把18公分除以2毫米算出來的。人類的32公分除以身高1.7公尺，連0.2倍都不到。其實兩者差不多高，只是用了不同的尺去量而已。
「即使體型不同，動物能跳的高度大致相同」這個想法，據說17世紀義大利科學家波雷利（Borelli）就已經提出過。到了20世紀，英國生理學家希爾（Hill）則從肌肉的特性說明了這個現象。
小小的身體還有另一道難關
不過，要按照計算跳出那樣的高度，是有條件的：腿部必須在蹬地的那段時間內，把身體加速到起跳速度。
人類的腿很長，從彎膝到完全伸直，大約可以花0.3秒的時間蹬地。但跳蚤的腿連1毫米都不到，據說要加速到接近秒速2公尺，能用的時間只有大約千分之一秒左右。
肌肉沒辦法收縮這麼快。因此跳蚤會使用如圖2所示「先儲力、再一口氣釋放」的機制，概念就跟弓箭或彈弓一樣。
彈簧的真身，是跳蚤胸部附近一種叫做「雷西林（resilin）」的蛋白質。它的彈性回彈力比橡膠還好，能幾乎不浪費地把儲存的力量釋放出來。肌肉只需要花時間慢慢儲力，釋放瞬間的速度就交給彈簧負責。
蝗蟲類的後腿，被認為也具備同樣的機制。體型越小的跳躍者，光靠肌肉越來越跟不上，就越傾向依賴彈簧。
「幾乎相同的高度」只在適中的體型範圍內成立。像象那麼大的動物,骨骼和腿光是支撐體重就已經竭盡全力，根本沒辦法跳躍。相反地，像跳蚤那麼小，空氣阻力的影響就會變大,據說實際能跳的高度會比計算值更低。
總結
肌肉量會按體重同樣的比例增加,所以動物能跳的高度幾乎不會因體型大小而改變。跳蚤「體長的90倍」，只是因為用很小的體長去除，才看起來特別大。跳蚤真正厲害的地方,在於要在千分之一秒內完成起跳，牠用的不是肌肉，而是「彈簧」。
跳蚤厲害的不是高度。
而是把力儲在彈簧裡、瞬間釋放的那股速度。
關於體型大小如何影響力量的話題，可以參考「螞蟻為什麼能舉起自己體重好幾十倍的東西？」；關於每次彈跳都會損失能量的話題，可以參考「球為什麼每次彈跳的高度都會變低？」。
- 站在牆邊，手臂向上伸直，在指尖能碰到的高度貼一張便利貼。
- 原地盡全力向上跳起，在最高點的位置再貼一張便利貼。兩張便利貼的高度差，就是你能跳的高度。
- 如果高度是30公分，起跳速度大約是秒速2.4公尺；如果是50公分，大約是秒速3.1公尺。把下方「用公式驗證」的公式反過來用，就能算出來。
大多數人的結果會落在20～50公分之間。和跳蚤的約18公分比起來，應該沒有想像中的差距。請在地板不滑、周圍沒有障礙物的地方嘗試。
想了解更多 ― 用語、公式、與教科書的關聯從國中理科到大學專業科目，清楚標示每個內容屬於哪個程度
- 國中國中理科課程範圍內的內容
- 高中高中「物理基礎」「生物」課程範圍內的內容
- 高中＋高中進階內容，或教科書專欄程度的內容
- 大學高中不會教、屬於大學專業科目（生物力學、比較生理學）的內容
- 研究中連大學都不會當作「定論」來教，是研究人員目前仍在調查中的內容
國中用語：這個現象是有名字的
- 力學能守恆：起跳瞬間的運動能量，隨著上升逐漸轉換成位能的過程。只要沒有空氣阻力，總能量不會改變。
- 起跳速度（離地速度）：腳離開地面那一瞬間的速度。能跳的高度完全由此決定。
- 雷西林（resilin）：昆蟲體內一種性質類似橡膠的蛋白質。能幾乎不損耗地把儲存的力量釋放出來。
國中高中用公式驗證：跳蚤和人類能跳多高？
從起跳速度，計算出能跳的高度。同時也用公式來看看，為什麼速度不會因體型大小而改變。
| 用符號表示 | h ＝ v² ÷ ( 2 × g ) |
| 用文字表示 | 能跳的高度 ＝ 起跳速度的平方 ÷ （2 × 重力加速度） |
| 這個公式從何而來 | 力學能守恆。起跳瞬間的動能 ½ × m × v²，在最高點全部轉換成位能 m × g × h（½ × m × v² ＝ m × g × h）。質量 m 在兩邊會互相消掉 |
| 為何不受體型影響 | ½ × m × v² ＝ e × m（e 為每1公斤體重的肌肉能輸出的功）。兩邊的 m 互相消掉後，v 就與體型大小無關 |
| h | 能跳的高度（重心上升的高度）。單位為公尺 |
| v | 起跳速度。單位為公尺/秒 |
| g | 重力加速度。約為9.8公尺/秒² |
| m | 身體的質量。單位為公斤 |
| 跳蚤的起跳速度 | 據稱約為秒速1.9公尺 |
| 人類垂直跳的起跳速度（參考值） | 約秒速2.5公尺 |
| 重力加速度 | 9.8公尺/秒² |
| 跳蚤體長／人類身高 | 約2毫米／約1.7公尺 |
| 分母（2 × 重力加速度） | 2 × 9.8 ＝ 19.6 |
| 跳蚤：速度的平方 | 1.9 × 1.9 ＝ 3.61 |
| 跳蚤：能跳的高度（公尺） | 3.61 ÷ 19.6 ≒ 0.18 |
| 人類：速度的平方 | 2.5 × 2.5 ＝ 6.25 |
| 人類：能跳的高度（公尺） | 6.25 ÷ 19.6 ≒ 0.32 |
| 跳蚤：相當於體長的幾倍（以毫米計算） | 180 ÷ 2 ＝ 90 |
| 人類：相當於身高的幾倍 | 0.32 ÷ 1.7 ≒ 0.19 |
| 人類蹬地所需時間（伸腿距離0.4公尺，平均速度為起跳速度的一半） | 0.4 ÷ 1.25 ＝ 0.32 |
| 人類與跳蚤蹬地時間的比值（跳蚤約為0.001秒） | 0.32 ÷ 0.001 ＝ 320 |
高度方面，跳蚤約18公分，人類約32公分，差距不到2倍。但蹬地所能用的時間，跳蚤大約只有人類的三百分之一。這不是高度的較量，而是時間的較量，跳蚤才需要靠彈簧來彌補。
高中高中＋為什麼「體長的幾倍」在小動物身上會變得特別大？
高中如果能跳的高度 h 幾乎固定，用體長 L 去除，得到的值就會與 L 成反比。體長只有千分之一，「體長的幾倍」看起來就會是1000倍。這不是物理法則，而是量尺選擇不同所造成的問題。
高中＋研究把身體維持相同形狀放大時、各種量會如何變化的思考方式，稱為「相似法則（scaling）」。肌肉量與體長的三次方成正比，力量則與肌肉的橫截面積成正比，也就是體長的二次方。功等於力×距離，所以是體長二次方×體長,也就是三次方,與體重按相同比例增加。這就是高度會保持固定的原因。
大學功率的極限與「彈射機制」
功的量不受體型大小影響，但輸出功的速率（功率）卻有上限。每1公斤肌肉每秒能輸出的功是有限的，加速時間越短的小型跳躍者，越容易碰到這個極限。因此牠們會使用把能量儲存在彈性體裡、再一口氣釋放的「彈射機制（功率放大）」。生物學上，把體型大小如何影響形態與數量變化的研究，稱為「異速生長學（allometry）」。
📖 公式推導與更深入的內容：力學能守恆定律（維基百科） ／ 異速生長學（維基百科）
研究中目前還不完全清楚的事
- 跳蚤究竟是用腿的哪個部位蹬地？ 長期以來都認為「靠近腿根部蹬地」，但高速攝影的研究指出可能是「用腿尖蹬地」，細節至今仍在驗證中。
- 雷西林為什麼不容易劣化？ 據說即使一生中伸縮數萬次,回彈力也不太會下降，這種分子層級的機制正是材料研究的對象。
- 應用於跳躍型小型機器人。 已有人做出模仿昆蟲彈簧加卡榫跳躍機制的小型機器人，但目前還做不到像生物那樣輕巧又耐用。
也就是說，這篇文章的內容，也只是「目前已知範圍內的說明」。尤其是跳蚤起跳的細微動作，隨著研究進展，說明內容一直在更新。
與教科書的關聯（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文位置 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科（運動與能量） | 飛出速度越快跳得越高／能量的轉換 |
| 高中 | 物理基礎（力學能守恆、鉛直上拋運動） | h ＝ v² ÷ ( 2 × g ) 的計算 |
| 高中＋ | 相似法則（scaling） | 除以體長後，小動物看起來倍數特別大的原因 |
| 大學 | 生物力學、比較生理學（異速生長學、功率放大） | 彈簧加卡榫的彈射機制 |
| 研究中 | 昆蟲跳躍的高速攝影、彈性蛋白質 | 跳蚤蹬地的位置／雷西林的耐久性 |
| ― | 與生活的關聯 | 垂直跳測量、寵物跳蚤防治中「瞬間消失」的原因 |
- Bennet-Clark, H. C. & Lucey, E. C. A. (1967) The jump of the flea: a study of the energetics and a model of the mechanism. Journal of Experimental Biology 47.
- Sutton, G. P. & Burrows, M. (2011) Biomechanics of jumping in the flea. Journal of Experimental Biology 214.
- Bennet-Clark, H. C. (1975) The energetics of the jump of the locust Schistocerca gregaria. Journal of Experimental Biology 63.
- Hill, A. V. (1950) The dimensions of animals and their muscular dynamics. Science Progress 38.
- Resilin（英文版維基百科）
- 克努特・施密特－尼爾森（Knut Schmidt-Nielsen）『Scaling: Why Is Animal Size So Important?』（コロナ社／日文版）
※本文為一般大眾取向的科學解說。文中數值為幫助理解原理的參考估算值，會因物種、個體、測量方式而有所不同。