鴨子游過之後的水波，為什麼總是呈八字形展開？
― 張開的角度即使速度改變，也始終維持約39度
池塘裡的鴨子、船隻，還有掉進水裡的樹枝，只要是邊移動邊在水面前進的物體，後方都會留下形狀相同的八字形水波。而且，這個張開的程度幾乎不會改變。照理說速度越快應該張得越開才對，事實卻並非如此。這個「角度總是一樣」的背後，隱藏著水面波一個有點不可思議的性質。
公園的池塘裡，一隻鴨子正慢慢地游著。牠身後的水面上，留下了一道漂亮的八字形波紋，久久不散。
旁邊，一艘更大的船咻地一聲橫越而過。船的後方，同樣出現八字形的波。大小雖然完全不同，張開的程度卻十分相似。
如果孩子問你「為什麼大家的形狀都一樣？」，你會怎麼回答呢？其實，這正是水面波的機制直接呈現出來的結果。
通往答案的線索，只有兩個
鴨子每推動一次水面，那個位置就會展開一圈圓形的波紋。鴨子前進的同時，這些波紋一個接一個產生，每一個都逐漸擴大。留下的水痕，就是許多波紋重疊的結果。
在深水中，波峰前進的速度，和整個波群前進的速度並不相同。波群的速度，正好是波峰速度的一半。這個「一半」的比例，正是決定角度的關鍵。
先來看看第一點。
後方的水痕，是由「圓圈重疊」而成
當某個物體在水面前進時，牠經過的每一個點，都會各自展開一圈圓形的波。可以想成，把石頭丟進池塘時產生的那種圓圈，沿著行進路線連續不斷地產生。
越早產生的圓圈長得越大，剛產生的圓圈則還很小。大小不同的圓圈排列在一起，外側的邊緣會整齊地連成一條直線。這就是八字形外側邊線的真面目。
聲音或飛機的衝擊波，也是用類似的原理形成圓錐形的面。不過在水面的情況中，前面提到的第二個線索會在此發揮作用，帶來意想不到的結果。
「一半的速度」固定了角度
仔細觀察池塘的波紋，會發現在單一個圓圈之中，只有波峰的花紋會往前穿越。波紋圖案前進的速度，和波所攜帶能量的傳播速度，其實是不同的東西。
在深水的波中，波群的速度，恰好是波紋圖案速度（相速度）的一半。也就是說，每個圓圈產生的「內容」，只能前進圓圈邊緣一半的距離。
正因為這個「一半」的比例，把所有圓圈所能到達的範圍疊加起來的外形，就會與前進的速度無關，永遠是同一個形狀。因為越快的物體只是會主要激起波長較長的波，而這個比例本身並不會改變。角度在單側約為19.5度，整體約為39度（圖1）。
這個39度的說法，前提是水深相對於波長來說足夠深。在淺池中，波速由水深決定，角度會變得更開。此外，前進速度非常慢時，由水面表面張力傳播的細小波也會出現在前方，可能會在圓圈外看到另一道水痕。
總結
八字形並不是鴨子創造出來的。這是水面波所擁有的一項規律——「波群只能以波紋圖案一半的速度前進」——直接化為可見形狀的結果。所以無論對方是大是小、是快是慢，角度都會相同。
決定形狀的不是前進的物體，而是水本身。
所以無論鴨子還是船，都會留下相同的八字形。
關於水面波本身，也可以讀讀把石頭丟進池塘，為什麼會展開圓形的波紋？；關於波浪崩潰的極限，則可參考海浪最高可以高到什麼程度？。
- 在浴缸或洗臉盆裡裝水，只放入一根手指，以固定的慢速橫向移動。後方會出現八字形的水痕。
- 用大約兩倍的速度做同樣的動作。波會變大，但八字形張開的程度幾乎不變。
- 如果在池塘或河邊看到鴨子或水鳥，可以用手機拍下水痕張開的角度，再用量角器或紙角在畫面上比對測量。若結果落在40度左右，就算成功。
在水邊觀察時請注意腳下安全，不要從岸邊伸手探水。
想更深入了解的人 ― 用語、數式與教科書的關聯從國中理科到大學專業科目，都明確標示屬於哪個程度
- 國中國中理科所學的範圍
- 高中高中「物理基礎・物理」所學的範圍
- 高中＋高中的進階內容，或教科書專欄程度的內容
- 大學高中不會教、屬於大學專業科目（流體力學・波動論）的內容
- 研究連大學都不會當作「定論」教授、目前研究者仍在探討中的內容
國中用語：這個現象是有名字的
- 航跡：在水面前進的物體，身後留下的波紋痕跡。包含呈八字形展開的部分，以及內側與行進方向垂直排列的部分。
- 開爾文角：航跡外側邊與行進路線所形成的角度。單側約為19.5度，整體約為39度。
- 群速度：波群，也就是能量傳播的速度。與波紋圖案前進的速度（相速度）是不同的量。
國中高中用式子驗證：張開角度，以及10秒後波的寬度
首先建立決定角度的式子，接著算出鴨子游10秒後，波向兩側展開的寬度。
| 用符號表示 | cg ＝ c ÷ 2 （此時 sinθ ＝ 1 ÷ 3） |
| 用文字表示 | 「波群速度 ＝ 波紋圖案速度 ÷ 2」，此時「外側邊角度的正弦值 ＝ 1 ÷ 3」 |
| 符號的意義 | cg：波群前進的速度（群速度，單位為公尺/秒）／c：波紋圖案前進的速度（相速度，同單位）／θ：外側邊與行進路線所形成的角度（單位為度） |
| 公式的由來 | 由深水波中，波群前進速度恰為波紋圖案速度一半（群速度＝相速度的一半）這項性質推導而出。因為角度僅由「一半」這個比例決定，所以前進速度不會出現在公式中。 |
| 波群速度與波紋圖案速度之比 | 0.5（深水波的情況） |
| 正弦值為 0.333 時的角度 | 約為 19.5 度 |
| 19.5 度的正切值 | 約為 0.354 |
| 鴨子游泳的速度 | 0.5 公尺/秒（慢速游泳時） |
| 首先，式子右邊的值 | 1 ÷ 3 ≒ 0.333 |
| 兩側合計的張開角度（度） | 19.5 × 2 ＝ 39 |
| 10秒內前進的距離（公尺） | 0.5 × 10 ＝ 5 |
| 單側的展開幅度（公尺） | 5 × 0.354 ≒ 1.77 |
| 兩側合計的寬度（公尺） | 1.77 × 2 ≒ 3.54 |
③ 換算成實際感受：僅僅10秒，波紋的痕跡就會展開到大約一輛小型車車寬的程度。鴨子身體的大小，並不會出現在決定角度的式子裡任何地方。所以，換成船隻，角度依然會是39度。
高中高中＋為什麼速度會從公式中消失？
高中高中會學到波速、波長、頻率之間的關係，以及干涉造成的「波的疊加」。航跡可以視為沿著行進路線連續產生的圓圈疊加之後的結果。
高中＋深水波中，波長越長，前進速度越快。這稱為色散，速度與波長之間的關係則稱為色散關係。前進速度越快的物體，主要激起的波長也越長，但群速度與相速度之比，無論波長為何，始終維持二分之一。由於角度只由這個比例決定，速度便從公式中消失了。
大學開爾文的定常相位分析
在大學的流體力學・波動論中，這個八字形稱為開爾文航跡（開爾文波形），是利用深水波的色散關係與定常相位法推導出來的。表示水面形狀的積分中，只有相位保持不變的方向會在觀測點留下痕跡——依據這個想法，可推得外側邊單側角度為19.47度。內側的弧形稱為橫波系，外側排列的細碎水痕稱為發散波系，兩者在外側邊上會合。
📖 公式推導與更進一步的內容：重力波 (流體力學) ／ Wake (physics)
研究目前尚未完全釐清的部分
- 速度極快時，角度看起來會變窄。 在高速船隻或人造衛星影像中，曾有報告指出外側邊看起來比39度更窄，這究竟是視覺上的效果，還是另有機制，在2010年代持續引發討論。
- 游泳生物的能量收支。 水鳥為製造航跡所耗費的力氣，佔整體游泳力氣的比例究竟多少，因物種與體型而異，實際測量的例子目前仍然有限。
- 淺水或有水流處的形狀。 在有河流或水深變化的水面上，航跡會產生變形。如何從實際河流中的形狀反推水深或流速，至今仍是研究對象。
也就是說，本文的內容也是「目前所知範圍內的說明」。請將其視為深水、平靜水面等條件齊備時，才會出現的乾淨形狀。
與教科書的關聯（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文何處 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科・聲音與光／波的傳播方式 | 圓形波紋展開的說明 |
| 高中 | 物理・波／疊加與干涉 | 圓圈疊加形成外側邊的說明 |
| 高中＋ | 物理進階・色散與群速度 | 速度從公式中消失的原因 |
| 大學 | 流體力學・水波理論 | 開爾文航跡與定常相位法 |
| 研究 | 海洋工程・生物流體力學 | 高速時看似變窄的角度、生物的能量收支 |
| ― | 與生活的關聯 | 池塘或河邊看到的波形、船隻帶給岸邊的波浪 |
- 維基百科日文版「重力波 (流體力學)」(重力波 (流体力学)，森林總合研究所等機構亦有相關研究)（水面波的色散關係與群速度）
- 維基百科英文版「Wake (physics)」（航跡的形狀與開爾文角）
- 霍雷斯・蘭姆（Horace Lamb）《流體力學》（水面波章節。深水波相速度與群速度的關係）
- 詹姆斯・萊特希爾（James Lighthill）《波動物理學》（具色散性的波與定常相位法的解說）
※本文為一般大眾取向的科學解說。文中數值為理解機制所用的參考概算值。在水邊觀察時，請遠離水邊確保腳下安全，並遵守設施或地方政府的公告與指示。