蟬為什麼要在土裡待上好幾年？
― 質數是牠們的生存策略
一到夏天，蟬就會吵鬧地鳴叫。牠們在地面上的生命，只有短短幾週。可是，在那之前，牠們已經以幼蟲的模樣，在土裡度過了好幾年。至於北美的部分蟬類，更是每隔13 年或 17 年，這兩個都是「質數」的週期才會爬出地面。這個乍看之下很奇妙的數字選擇，被認為背後有一個為了活下去而精打細算的理由。
盛夏時節，你一定聽過樹上傳來滿滿的蟬鳴。但那個模樣，其實只占蟬一生中很短的一小段時間。
大多數的蟬從卵孵化之後，會以幼蟲的身分鑽進土裡，吸取樹根的養分，一待就是好幾年。直到終於爬出地面、羽化成成蟲之後，壽命據說只剩短短幾週。
其中，北美有一類叫做週期蟬的蟬，會在土裡待上13 年或 17 年這種固定不變的年數，然後一起爬出地面。牠們為什麼要選這麼長、而且這麼特別的年數呢？
幼蟲期比成蟲期長得多。
這些年數都是只能被 1 和自己整除的質數。這不是巧合，而被認為是為了活下去的策略。
「為什麼是質數？」這個謎，我們從數的性質來看看。
蟬的一生，大部分都在「地底下」
蟬的幼蟲會在土裡把口器插進樹根，吸取汁液長大。這段期間依種類而異，但據說多半長達數年。又暗、又不容易被天敵發現的土裡，被認為是適合慢慢長大的環境。
爬出地面變成成蟲之後，牠們會把有限的時間用來尋找伴侶、留下後代。成蟲期之所以短，可以這樣理解：「長大」的任務幾乎由幼蟲期負責，成蟲則專門負責「延續生命」。
北美有 13 年、17 年的「質數蟬」
北美有一類特別的蟬，叫做週期蟬。牠們依地區分成不同的「群（brood，發生系統群）」，每一群都以 13 年或 17 年這種固定的週期，同時爬出地面。
13 和 17 都是除了 1 和自己以外，沒有其他因數的質數。多數生物的生活週期是 1 年、2 年，或 4 年、6 年這類比較「容易被整除」的數字。只有週期蟬堅持採用這種特別的質數年數，很早就引起研究者的關注。
它被認為是用數學方法減少與天敵「碰面機會」的策略。
為什麼偏偏是質數週期？
一個有力的假說是：「為了減少與天敵，或與週期不同的近緣蟬類，出現時間重疊的機會」。假如蟬的週期是 2 年、3 年、4 年、6 年這種能被很多數整除的數字，就會經常和週期相近的天敵或競爭對手在同一年出現。
但如果週期是質數，除了週期剛好等於那個數的對象之外，就很少會重疊。要讓擁有 13 年或 17 年這種長質數週期的天敵演化出來並穩定存在，在現實中非常困難。結果就是，週期蟬大幅減少了與多數天敵相遇的機會。
週期蟬會在同一年，有大量個體同時爬出地面。這被認為是一次冒出天敵吃也吃不完的數量，藉此提高整個族群存活機率的策略（稱為「掠食者飽足」）。質數週期加上這種同時出現，據說讓週期蟬大幅減少了來自天敵的損失。
可以自己動手驗證的事
- 在紙上寫出從 1 到 60 的數字
- 把4 的倍數（4、8、12……）圈起來
- 在同一張紙上，也標出12 的倍數（12、24、36……），確認和圓圈重疊的地方（每個都會重疊）
- 接著標出13 的倍數，找找看有沒有和 4 的倍數圓圈重疊的地方（在 60 以內，應該幾乎不會重疊）
12 和 4 常常重疊，13 和 4 卻很難重疊――這就是週期蟬選擇質數的數學真相。
總結
蟬在土裡待上好幾年，是讓幼蟲期能好好慢慢長大的機制。其中，週期蟬選擇 13 年、17 年這種質數週期，被認為是用數學方法減少與天敵，或與週期不同的近緣種，出現時間重疊的策略。質數這種乍看樸素的數字性質，其實真的影響了生物的演化。
蟬漫長的地下生活，不只是忍耐的時光。
那是把數的性質拉來當夥伴的、精明的生存策略。
至於為什麼看不到人影，卻能聽到聲音這種和聲音有關的話題，在玩捉迷藏時，明明看不到人，卻聽得到聲音，這是為什麼？這篇裡有介紹。
想知道更多的人 ― 用語・數值・與課本的連結從國中理化到研究中的話題，都會標明屬於哪個程度
- 國中國中理化、數學會學到的範圍
- 高中高中數學會學到的範圍
- 高中＋高中「生物」，或課本中進階、專欄的內容
- 大學高中不會學到、大學專業科目（演化生態學）的內容
- 研究連大學也不會當成「定論」教，目前研究者仍在探究的話題
國中用語：與週期蟬有關的詞彙
- 質數：除了 1 和自己以外，沒有其他因數的整數（2、3、5、7、11、13……）。
- 週期蟬：以 13 年或 17 年這種固定週期爬出地面的蟬類。
- 群（brood）：同一年、在同一地區同時發生的週期蟬族群。
- 最小公倍數：兩個以上的數共同的倍數中，最小的那一個。
高中用算式驗證：質數週期到底有多不容易重疊？
我們用最小公倍數（LCM），實際算算週期重疊的頻率。
最小公倍數 ＝（兩數的乘積）÷ 最大公因數
| 最大公因數 | 兩個數共同的因數中，最大的那一個 |
| 最小公倍數 | 兩個數的週期剛好同時對齊的間隔 |
作為比方，我們假設有一種週期 4 年的天敵。
| 12 和 4 的最大公因數 | 4 |
| 12 和 4 的最小公倍數 | 12 × 4 ÷ 4 ＝ 12 |
| 12 年週期的蟬重疊的間隔 | 每 12 年 1 次 |
| 13 和 4 的最大公因數 | 1 |
| 13 和 4 的最小公倍數 | 13 × 4 ÷ 1 ＝ 52 |
| 13 年週期的蟬重疊的間隔 | 每 52 年 1 次 |
我們來比較這兩個間隔。
| 重疊間隔的比 | 52 ÷ 12 ≒ 4.33 |
| 重疊間隔的比 | 約 4.33 倍 |
算出來的結果是：13 年週期的蟬和同樣 4 年週期的對象相遇的頻率，比 12 年週期的蟬減少到大約四分之一左右。
用同樣的想法，也能算出13 年群與 17 年群彼此相遇的間隔。兩者都是質數，所以最大公因數是 1。
| 13 和 17 的最小公倍數 | 13 × 17 ＝ 221 |
| 兩個群重疊的間隔 | 每 221 年 1 次 |
可以知道，13 年蟬與 17 年蟬同時發生，是 221 年才一次的極為罕見的事件。
※ 4 年週期的天敵，只是為了理解機制所做的比方。實際上可能與週期蟬重疊的對象，其週期依物種而有各種不同。
高中＋這個假說得到多個角度的支持
對於質數週期的解釋，除了減少與天敵相遇的假說之外，也有人提出防止不同週期的近緣蟬類彼此雜交的假說。週期不同的蟬很少同時發生，因此各個週期比較容易維持為獨立的族群，這就是這個想法。這兩種假說在「週期不易重疊，對生存或繁殖有利」這一點上是共通的。
大學也有人指出與冰期的關係
在演化生態學的研究中，也有人討論一種說法：週期蟬之所以有這麼長的週期，可能源自過去冰期嚴酷氣候下，牠們成長需要很長的時間。有人指出，在氣候嚴苛、只能緩慢成長的環境中，週期碰巧相近的族群，可能逐漸收斂成質數的年數，不過據說無法只用單一因素完整解釋。
研究目前還不清楚的事
- 至於蟬的幼蟲，是靠什麼機制在土裡準確數出「過了幾年」，據說還沒有完全解開。有人指出，牠們可能把從樹根得到的養分的季節變化等，記錄成體內的生理變化，但詳細的分子機制仍在研究中。
- 據說因氣候變遷，部分週期蟬比原本的週期更早爬出地面的「提早發生」報告越來越多，氣溫變化會如何影響週期本身的維持，也成為研究課題。
- 支持質數週期演化的數學模型，在立場上也有幾種差異，究竟哪些因素、重要到什麼程度，據說至今仍在討論中。
在我們熟悉的夏日風景——蟬鳴的背後，是數學與生物學交會、至今仍在研究的主題。
與課本的連結（依程度分類）
| 程度 | 科目・單元 | 本文的對應處 |
|---|---|---|
| 國中 | 數學・質數與因數 ／ 理化・昆蟲的成長 | 質數、週期蟬、最小公倍數的基本用語 |
| 高中 | 數學・整數的性質 | 由最小公倍數求出週期不易重疊的計算 |
| 高中＋ | 生物・生物的演化與適應 | 躲避天敵假說與防止雜交假說 |
| 大學 | 演化生態學 | 冰期氣候與週期演化的關係 |
| 研究 | 昆蟲生理學・氣候生態學（研究中） | 體內時鐘的機制、氣候變遷與提早發生 |
- 演化生態學相關研究文獻中，關於週期蟬質數週期假說（躲避天敵假說）的解說。
- 高中數學課本中，關於最大公因數、最小公倍數的解說。
- 昆蟲學相關教科書中，關於蟬的生活史（幼蟲期、成蟲期）的解說。
- 古氣候學、演化生態學領域中，關於週期蟬週期演化與冰期關係的研究回顧。
- 昆蟲生理學領域中，關於週期蟬體內時鐘與提早發生的研究回顧。
※ 天敵週期等數值，只是為了理解機制所做的比方。實際生態系中的關係，據說要複雜得多。
※本文為一般大眾的科學解說。關於蟬與週期蟬生態的詳細資訊，請參閱昆蟲學專業機構或學術文獻。