Pourquoi une toupie qui tourne ne tombe-t-elle pas ?
― La force qui devrait la faire tomber est déviée « sur le côté » par la rotation
Une toupie arrêtée tombe dès qu'on la lâche. Mais une toupie qui tourne, même légèrement inclinée, ne tombe pas. La force du poids n'a pas disparu. Quand on applique une force à un objet en rotation, cette force n'agit pas pour le « faire tomber », mais pour le « faire pivoter sur le côté ».
Vous faites tourner une toupie devant un enfant, qui vous demande : « Pourquoi elle ne tombe pas ? ». Vous répondez : « Parce qu'elle tourne. » L'enfant rétorque : « Pourquoi, quand ça tourne, ça ne tombe pas ? »
En regardant bien, on voit que la toupie reste inclinée, mais que son sommet décrit lentement un cercle. Et pourtant, elle ne s'effondre pas sur le sol.
Puis, quand la rotation ralentit, ce mouvement du sommet devient soudain plus rapide et plus ample. Et finalement, elle finit par rouler sur le sol. Cet enchaînement a une explication bien précise.
Il n'y a que deux raisons
Quand le poids essaie de faire tomber une toupie en rotation, celle-ci, au lieu de tomber, fait pivoter son sommet sur le côté. La force du poids est utilisée pour entretenir ce balancement.
Plus la rotation est rapide, moins la direction change pour une même force de poids. Quand elle ralentit, le balancement devient rapide et ample, et sous une certaine vitesse, la toupie ne peut plus se soutenir et tombe.
Détaillons point par point ce que les adultes résument trop vite par « parce que ça tourne ».
Pourquoi la force du poids agit-elle « sur le côté » ?
Considérons d'abord une toupie immobile. Si on l'incline légèrement, le poids s'applique en son centre et tend à la faire tomber, avec la pointe du pied comme pivot. Immobile, elle tombe effectivement ainsi.
Pour une toupie en rotation, les choses changent. Observez une portion du bord de la toupie. Même si elle se trouve en haut à un instant donné, la rotation l'emporte immédiatement sur le côté. L'effet de la poussée « vers le bas » exercée par le poids se manifeste à l'endroit où cette portion a été déplacée par la rotation.
Résultat : l'ensemble de la toupie, au lieu de « tomber », voit l'axe « se décaler sur le côté ». En répétant ce processus, l'extrémité de l'axe décrit un cercle. La ligne en pointillés en haut de la figure 1 représente cette trajectoire. On appelle ce balancement la « précession ».
Pourquoi tombe-t-elle quand la rotation ralentit ?
La « quantité de mouvement rotatif » d'une toupie est d'autant plus grande que la rotation est rapide. Le poids modifie la direction de l'axe à peu près de la même quantité chaque seconde. Si cette quantité de mouvement est grande, ce changement paraît faible par rapport à l'ensemble, et le balancement est lent.
Quand le frottement avec le sol ou l'air freine la rotation, cette quantité de mouvement diminue. Le même poids déplace alors davantage l'axe, et le balancement s'accélère. En réduisant la vitesse de rotation avec le curseur de la figure 2, on voit que la durée d'un tour de balancement se raccourcit.
Dans le modèle de toupie de cet article, sous environ 8 tours par seconde, le balancement ne peut plus se maintenir de façon stable. Le sommet se met alors à osciller fortement, jusqu'à ce que le bord touche le sol et que la toupie tombe.
Une toupie lancée vigoureusement, même inclinée au départ, finit parfois par se dresser toute droite et tourner silencieusement. On l'explique par le frottement entre la pointe et le sol, qui agirait dans le sens du redressement de l'axe. Cet état où elle semble immobile, dressée et droite, est appelé depuis longtemps « la toupie s'endort ».
L'axe de rotation de la Terre, attiré par la Lune et le Soleil, décrit lui aussi un cercle en environ 26 000 ans. C'est pourquoi l'étoile qui joue le rôle d'étoile polaire change au fil des millénaires (article sur l'étoile polaire).
En résumé
Même sur une toupie en rotation, la force du poids qui tend à la faire tomber agit bel et bien. Mais à cause de la rotation, cette force ne sert pas à la « faire tomber » mais à la « faire balancer sur le côté ». Plus la rotation est rapide, plus ce balancement est lent et faible ; quand la rotation ralentit, il devient rapide et ample, jusqu'à la chute finale.
Une toupie ne résiste pas à la chute :
elle dévie sans cesse, sur le côté, la direction où elle devrait tomber.
Le mécanisme qui empêche un vélo en mouvement de tomber est un peu différent de celui de la toupie. Vous pouvez le découvrir dans l'article sur le vélo, et un autre exemple d'objet tournant qui change de direction dans l'article sur les ricochets.
- Faites tourner une toupie légèrement inclinée et mesurez, avec le chronomètre de votre smartphone, le temps que met son sommet à décrire un tour complet.
- Attendez un moment, puis, une fois la rotation ralentie, mesurez à nouveau la durée d'un tour. Elle devrait être plus courte.
- Une vidéo au ralenti permet de voir le balancement s'accélérer et s'amplifier brusquement juste avant la chute.
Compter la vitesse de rotation étant difficile, il suffit de comparer le « début du lancement » et « juste avant l'arrêt ». Choisissez un sol lisse et plat.
Pour en savoir plus ― termes, formules et liens avec les manuelsDu niveau collège jusqu'aux matières spécialisées universitaires, chaque point précise son niveau
- CollègeNiveau abordé en sciences au collège
- LycéeNiveau abordé en « physique » au lycée
- Lycée+Niveau avancé du lycée, ou contenu traité en encadré dans les manuels
- UniversitéNon abordé au lycée : matière spécialisée universitaire (mécanique, dynamique du solide)
- RecherchePas encore enseigné comme « établi » même à l'université : sujet actuellement étudié par les chercheurs
CollègeTerminologie : ce phénomène a un nom
- Précession : mouvement par lequel l'axe d'un objet en rotation change lentement de direction en décrivant un cercle. C'est le balancement de la toupie.
- Moment cinétique : grandeur représentant la « quantité de mouvement » de la rotation. Produit de la résistance à la rotation (moment d'inertie) et de la vitesse de rotation.
- Moment de force (couple) : grandeur représentant l'effet qui tend à faire tourner un objet. Produit de la force et de la distance au pivot.
CollègeLycéeVérification par le calcul : combien de secondes pour un tour de balancement ?
Supposons une toupie en forme de disque de 6 centimètres de diamètre et de 50 grammes, tournant à 20 tours par seconde. Le centre de gravité se trouve à 2 centimètres de hauteur au-dessus de la pointe. Calculons la durée d'un tour de balancement.
| En symboles | Ω ＝ m × g × r ÷ ( I × ω ), durée d'un tour de balancement T ＝ 2π ÷ Ω |
| En mots | Vitesse du balancement ＝ effet du poids qui tend à faire tourner ÷ quantité de mouvement rotatif |
| Origine de la formule | Elle découle de la loi du mouvement de rotation : « le moment de force change chaque seconde la quantité de mouvement de rotation (moment cinétique) ». Quand l'effet du poids ne change que la direction de cette quantité de mouvement, sur le côté, on obtient cette forme. |
| Symbole | Signification et unité |
| m | Masse de la toupie (kg) |
| g | Accélération de la gravité (m/s²) |
| r | Distance entre la pointe et le centre de gravité (m) |
| I | Résistance à la rotation autour de l'axe ＝ moment d'inertie (kg·m²) |
| ω | Vitesse angulaire de rotation (angle parcouru par seconde, en radians par seconde) |
| Ω | Vitesse angulaire du balancement (radians par seconde) |
| Masse de la toupie | 0,05 kg |
| Rayon du disque | 0,03 m |
| Hauteur du centre de gravité | 0,02 m |
| Accélération de la gravité | 9,8 m/s² |
| Vitesse de rotation | 20 tours par seconde |
| Moment d'inertie du disque | la moitié du produit de la masse par le carré du rayon |
| Carré du rayon | 0,03 × 0,03 ＝ 0,0009 |
| Multiplié par la masse | 0,05 × 0,0009 ＝ 0,000045 |
| Divisé par 2 : moment d'inertie | 0,000045 ÷ 2 ＝ 0,0000225 |
| Vitesse angulaire (1 tour ≈ 6,28 radians) | 20 × 6,28 ＝ 125,6 |
| Quantité de mouvement rotatif (moment cinétique) | 0,0000225 × 125,6 ≒ 0,002826 |
| Poids (en newtons) | 0,05 × 9,8 ＝ 0,49 |
| Effet du poids qui tend à faire tourner | 0,49 × 0,02 ＝ 0,0098 |
| Vitesse angulaire du balancement | 0,0098 ÷ 0,002826 ≒ 3,47 |
| Durée d'un tour de balancement (secondes) | 6,28 ÷ 3,47 ≒ 1,81 |
Un tour de balancement dure environ 1,8 seconde, soit la même valeur que la position initiale du point blanc dans la figure 2. Si la rotation tombe à 10 tours par seconde, la quantité de mouvement est réduite de moitié et un tour ne dure plus qu'environ 0,9 seconde : deux fois plus rapide. C'est cette proportionnalité qui explique, sur une vraie toupie, que « le balancement s'accélère juste avant l'arrêt ».
LycéeLycée+Pourquoi la force agit « sur le côté » : raisonner avec des vecteurs
LycéeEn physique au lycée, on apprend que l'effet d'une force qui fait tourner un objet s'appelle le « moment de force ». Sur une toupie inclinée, le poids et la réaction du sol créent un moment qui tend à la faire tomber.
Lycée+La quantité de mouvement de rotation peut être représentée par « un vecteur orienté le long de l'axe ». En représentant le moment de force lui aussi par un vecteur, on voit qu'il est horizontal et perpendiculaire au vecteur de quantité de mouvement. En ajoutant sans cesse un vecteur perpendiculaire, le vecteur de quantité de mouvement tourne de direction sans changer de longueur. C'est exactement le mécanisme du balancement.
UniversitéRotation du solide et équations du mouvement d'Euler
En mécanique universitaire, la toupie est traitée comme la « rotation d'un solide ». Le mouvement exact se résout avec les équations d'Euler, ou avec le formalisme lagrangien utilisant les angles d'Euler. La formule ci-dessus est une approximation valable lorsque la rotation est suffisamment rapide (approximation gyroscopique). Le seuil de chute d'environ 8 tours par seconde dans ce modèle a été estimé à partir d'une inégalité appelée « condition de stabilité de la toupie dormante ». Les petites oscillations verticales de la direction de l'axe sont appelées « nutation ».
📖 Pour la dérivation des formules et approfondir : Précession (Wikipédia, en japonais) ／ Moment cinétique (Wikipédia, en japonais)
RechercheCe qui n'est pas encore pleinement compris
- Le traitement exact du frottement à la pointe La façon dont glissement et roulement se mélangent entre la pointe et le sol varie beaucoup selon les conditions, et prédire précisément la vitesse de redressement reste aujourd'hui difficile.
- La toupie culbutante (toupie « tippe top ») Certaines toupies se retournent complètement en tournant. Le mécanisme général s'explique par le frottement, mais les détails du mouvement font encore l'objet de recherches.
- Le comportement juste avant l'arrêt Le mouvement par contacts discontinus avec le sol, juste avant que la rotation ne s'effondre complètement, ne serait pas entièrement décrit par des formules simples.
Autrement dit, le contenu de cet article aussi n'est qu'« une explication valable dans l'état actuel des connaissances ». Le balancement lui-même est résolu depuis longtemps, mais des points liés au frottement avec le sol restent non élucidés.
Liens avec les manuels (par niveau)
| Niveau | Matière / unité | Passage correspondant de cet article |
|---|---|---|
| Collège | Sciences・effets des forces | Le poids agissant vers le bas depuis le centre |
| Lycée | Physique・équilibre des solides (moment de force) | L'effet qui tend à faire tomber la toupie inclinée |
| Lycée+ | Physique avancée・moment cinétique | Le fait que seule la direction du vecteur de quantité de mouvement change |
| Université | Mécanique・rotation du solide | Équations d'Euler, condition de stabilité de la toupie dormante |
| Recherche | Dynamique non linéaire・mécanique du frottement | Redressement, toupie culbutante, mouvement juste avant l'arrêt |
| ― | Lien avec la vie quotidienne | Jeux de toupie, lent balancement de l'axe de rotation terrestre |
- Landau, Lifchitz, Mécanique (Tokyo Tosho), chapitre sur le mouvement des solides
- Morikazu Toda, Koma no kagaku [La science de la toupie] (Iwanami Shoten, 戸田盛和『コマの科学』岩波書店)
- Feynman, Leighton, Sands, Le cours de physique de Feynman I ― Mécanique (Iwanami Shoten), chapitre sur la rotation
- Précession - Wikipédia (en japonais)
※Cet article est une présentation scientifique destinée au grand public. Les valeurs données sont des ordres de grandeur destinés à faciliter la compréhension du mécanisme. La vitesse de balancement et le nombre de tours auquel la toupie tombe varient selon sa taille, sa forme et le matériau du sol.