Pourquoi une balle rebondit-elle de moins en moins haut ?
― Rien ne disparaît : l'énergie se change peu à peu en chaleur et en son
Une balle lâchée rebondit moins haut la deuxième fois que la première, et encore moins haut la troisième. On dirait que sa force s'est « perdue » quelque part. Pourtant, rien n'a disparu. À chaque fois qu'elle s'écrase sur le sol puis reprend sa forme, la balle abandonne une part de son mouvement sous forme de chaleur et de son. Et elle en abandonne toujours la même proportion.
Un enfant lâche une balle rebondissante sur le sol. Poum, pom, pom, tom, tototo… À chaque rebond, elle monte moins haut, les bruits se rapprochent, et finalement elle s'immobilise en frémissant sur le sol.
« Dis, pourquoi elle rebondit de moins en moins haut ? Elle devrait toujours monter pareil. » Face à cette question, on est tenté de répondre : « Parce qu'elle n'a plus de force. »
Mais où cette « force » est-elle passée ? En touchant la balle, on ne sent pas qu'il lui manque quelque chose. La réponse se cache dans l'instant très bref du rebond.
Il n'y a que deux raisons à cette baisse
En touchant le sol, la balle s'aplatit un instant, puis rebondit en reprenant sa forme. Mais l'élan qu'elle rend en se redressant est un peu plus faible que celui qu'elle avait en s'écrasant. La différence se transforme en chaleur à l'intérieur de la balle.
Le « pom » prouve que la balle a fait vibrer l'air. Le sol vibre aussi légèrement. Tout cela est prélevé sur le mouvement de la balle.
Dans les deux cas, le mouvement de la balle a simplement changé de forme, et le total n'a pas diminué. C'est ce que les cours de sciences appellent la « conservation de l'énergie ». Seulement, l'énergie devenue chaleur ou son ne peut plus servir à soulever la balle.
À chaque rebond, la même proportion est perdue
Une balle qui rebondit obéit à une règle curieuse. Ce qui compte n'est pas le nombre de centimètres perdus, mais la fraction conservée, à peu près la même à chaque fois. Une balle de tennis de table lâchée sur une table dure remonte environ aux trois quarts de la hauteur de chute. Lâchée de 1 mètre, elle monte à 75 cm, puis à 56 cm, puis à 42 cm : la hauteur diminue par multiplications successives.
Quand la hauteur baisse, le temps passé en l'air diminue aussi. Voilà pourquoi les bruits se rapprochent : « pom, pom, tototo ». Dans la figure 1, essayez de modifier la proportion de rebond avec le curseur.
Le plus surprenant, c'est que, selon le calcul, les rebonds sont en nombre infini, mais le temps total est fini. Les arches rétrécissent si vite que leur somme se termine en quelques secondes. En réalité, à la fin, on ne distingue plus si la balle rebondit ou si elle tremble.
La part perdue devient de la chaleur dans la balle
Quand une balle en caoutchouc s'écrase, ses longues molécules de caoutchouc se frottent les unes aux autres en s'étirant et en se comprimant. Comme quand on se frotte les mains pour les réchauffer, ce frottement produit de la chaleur. Regardez la figure 2. Pendant l'écrasement puis le retour à la forme, ce frottement fait diminuer l'élan.
La quantité de chaleur est minime : en touchant la balle, on ne sent aucun réchauffement. Pourtant, rebond après rebond, cela finit par compter. Plus un matériau perd peu de cette façon, plus il rebondit haut. Une balle rebondissante saute bien parce qu'elle est faite d'un caoutchouc qui frotte peu en s'écrasant.
Une balle de squash froide ne rebondit presque pas. Avant un match, les joueurs la frappent plusieurs fois contre le mur pour la réchauffer. La dureté du caoutchouc et son frottement interne changent avec la température, et une balle chaude rebondit mieux. Ils utilisent donc, à leur profit, la chaleur produite à chaque rebond.
Pour les balles officielles de tennis de table et de tennis, le règlement fixe la hauteur de rebond attendue après une chute d'une hauteur donnée. Si les rebonds variaient d'une balle à l'autre, on ne pourrait pas jouer correctement. Dans la section repliable ci-dessous, on calcule avec ces valeurs de référence.
En résumé
Une balle rebondit de moins en moins haut parce que, pendant l'instant où elle s'écrase puis se redresse, une partie de son mouvement devient chaleur et son. La proportion perdue étant à peu près la même à chaque fois, la hauteur diminue par multiplications et les bruits se rapprochent. L'énergie n'a pas disparu : elle a changé de forme et s'est dispersée dans le sol et l'air environnant.
À chaque rebond, la balle paie un petit tribut de chaleur.
La hauteur qui baisse en garde la trace comptable.
Nous parlons aussi du mouvement qui devient chaleur dans Pourquoi les mains se réchauffent-elles quand on les frotte ? et dans L'eau au pied d'une cascade est-elle plus chaude qu'avant la chute ?. Pour les cailloux qui ricochent sur l'eau, voyez Pourquoi un caillou ricoche-t-il plusieurs fois sur l'eau ?
- Fixez un mètre ruban au mur et lâchez doucement la balle d'une hauteur de 1 mètre. Filmez de côté avec un smartphone pour mieux lire la hauteur des rebonds.
- Lisez la hauteur du premier et du deuxième rebond, puis comparez « 1er rebond ÷ 1 mètre » et « 2e rebond ÷ 1er rebond ». Les deux proportions devraient être presque identiques.
- Comparez différents types de balles : balle rebondissante, balle de tennis, balle de ping-pong. Essayez aussi une balle refroidie au réfrigérateur et une balle réchauffée dans la main.
Sur un sol mou, comme un tatami ou une moquette, c'est le sol qui absorbe la chaleur, et aucune balle ne rebondit bien. Comparez donc sur un sol dur. L'astuce : ne lancez pas la balle, lâchez-la simplement de la main.
Pour aller plus loin ― vocabulaire, formules, lien avec les manuelsDu collège aux cours spécialisés de l'université, le niveau de chaque passage est indiqué
- CollègeCe qu'on apprend en sciences au collège
- LycéeCe qu'on apprend au lycée en « physique de base » et « physique »
- Lycée+Approfondissement du lycée, ou contenu traité en encadré dans les manuels
- Univ.Cours spécialisés de l'université, non vus au lycée (mécanique, résistance des matériaux, physique des polymères)
- RechercheSujets que les chercheurs étudient en ce moment, pas encore enseignés comme acquis, même à l'université
CollègeVocabulaire : ce phénomène a un nom
- Énergie mécanique : somme de l'énergie due à la hauteur (énergie potentielle) et de l'énergie due à la vitesse (énergie cinétique). Quand la balle est en l'air, elle reste à peu près constante.
- Conservation de l'énergie : la règle selon laquelle, même si l'énergie change de forme, le total ne augmente ni ne diminue. Si l'énergie semble baisser à chaque rebond, c'est qu'elle a pris la forme de chaleur et de son.
- Coefficient de restitution : rapport entre la vitesse juste après le choc et la vitesse juste avant. À 1, la balle rend tout son élan ; à 0, elle ne rebondit pas du tout.
CollègeLycéeVérifier par les formules : de combien la hauteur baisse-t-elle à chaque rebond ?
Avec les valeurs de référence des balles officielles de tennis de table et de tennis, on calcule la hauteur de rebond et le temps avant l'arrêt.
| En symboles | hn ＝ h0 × e2n (coefficient de restitution e ＝ √( h1 ÷ h0 )) |
| En mots | hauteur du n-ième rebond ＝ hauteur de chute × (carré du coefficient de restitution) multiplié n fois par lui-même |
| D'où vient-elle ? | En l'air, l'énergie mécanique est conservée, donc la hauteur est proportionnelle au carré de la vitesse. Chaque fois que la vitesse est multipliée par e au sol, la hauteur est multipliée par e au carré |
| Symbole | Signification et unité |
|---|---|
| h0 | Hauteur de chute (cm) |
| hn | Hauteur du n-ième rebond (cm) |
| e | Coefficient de restitution (sans unité, entre 0 et 1) |
| t0 | Temps de la première chute jusqu'au sol (s) |
| Balle de tennis de table : hauteur de chute (norme du règlement international) | 30.5 cm |
| Balle de tennis de table : hauteur de rebond indicative | environ 23 cm |
| Balle de tennis : hauteur de chute (norme du règlement international) | 254 cm |
| Balle de tennis : milieu de la fourchette de hauteur de rebond | environ 141 cm (135 à 147 cm) |
| Temps pour tomber d'une hauteur de 1 m | environ 0.45 s |
| Balle de tennis de table : proportion de hauteur conservée (e au carré) | 23 ÷ 30.5 ≒ 0.75 |
| Hauteur du 1er rebond après une chute de 1 m | 100 × 0.75 ＝ 75 cm |
| Hauteur du 2e rebond | 75 × 0.75 ≒ 56 cm |
| Hauteur du 3e rebond | 56 × 0.75 ＝ 42 cm |
| Balle de tennis : proportion de hauteur conservée | 141 ÷ 254 ≒ 0.56 |
| Proportion perdue par la balle de tennis à chaque rebond | 1 − 0.56 ＝ 0.44 |
Ainsi, à chaque rebond, la balle de tennis de table abandonne environ un quart de son énergie mécanique sous forme de chaleur et de son, et la balle de tennis plus de 40 %.
| Formule du temps avant l'arrêt (somme des largeurs d'arches, en série géométrique) | T ＝ t0 × (1 ＋ e) ÷ (1 − e) |
| Racine carrée de 0.75 (coefficient de restitution e) | environ 0.866 |
| Numérateur | 1 ＋ 0.866 ＝ 1.866 |
| Dénominateur | 1 − 0.866 ＝ 0.134 |
| Numérateur divisé par dénominateur | 1.866 ÷ 0.134 ≒ 13.9 |
| Temps avant l'arrêt | 0.45 × 13.9 ≒ 6.3 s |
Selon le calcul, les rebonds pourraient continuer indéfiniment, mais le temps total plafonne à environ 6 secondes. C'est la même valeur que celle affichée en haut à droite de la figure 1. En réalité, la résistance de l'air et le changement de comportement lors des chocs lents interviennent : prenez ce résultat comme un ordre de grandeur.
LycéeLycée+Coefficient de restitution et énergie perdue
LycéeEn physique de base, on définit le coefficient de restitution avec le sol comme « vitesse après le choc ÷ vitesse avant le choc ». L'énergie cinétique étant proportionnelle au carré de la vitesse, la proportion d'énergie conservée à chaque choc est e au carré. Cela correspond à la proportion de hauteur de rebond.
Lycée+Les largeurs des arches forment une suite géométrique de raison e. Leur somme, même avec une infinité de termes, reste donc finie. C'est exactement la formule de la somme d'une série géométrique infinie en mathématiques.
Univ.Viscoélasticité et perte par hystérésis
Le caoutchouc est un matériau viscoélastique : il a à la fois l'élasticité d'un ressort et la viscosité du miel. La courbe de force à la compression et celle au retour ne coïncident pas, et l'aire entre les deux, la perte par hystérésis, se transforme en chaleur. La déformation au moment du contact est estimée par la théorie du contact de Hertz. On sait que le coefficient de restitution varie avec la vitesse du choc et la température.
📖 Dérivation des formules et approfondissements (en japonais) : Coefficient de restitution (Wikipédia) ／ Conservation de l'énergie mécanique (Wikipédia)
RechercheCe qu'on ne comprend pas encore bien
- Comment le coefficient de restitution dépend de la vitesse. Il n'est pas constant : il a tendance à diminuer quand le choc est plus rapide. Prédire finement cette variation pour chaque matériau, à partir du mouvement des molécules, reste un défi.
- La nature du « tremblement » final. Quand la hauteur de rebond devient minuscule, les vibrations de la balle et du sol, ainsi que la couche d'air, ne sont plus négligeables. Où la balle cesse de rebondir ne se décide pas par une formule simple.
- Le cas de nombreuses particules qui s'entrechoquent. Dans un ensemble de grains de sable, des chocs qui font perdre un peu d'élan se répètent, et les grains peuvent soudain former des amas. Cet « effondrement inélastique » est un sujet de recherche en physique des poudres.
Le contenu de cet article n'est donc lui aussi qu'une « explication dans l'état actuel des connaissances ». La règle d'une baisse de même proportion à chaque fois n'est, elle aussi, qu'une bonne approximation.
Lien avec les manuels (par niveau)
| Niveau | Matière et chapitre | Où dans cet article |
|---|---|---|
| Collège | Sciences : « énergie mécanique », « transformations de l'énergie » | L'explication du mouvement qui devient chaleur et son |
| Lycée | Physique de base : « coefficient de restitution », « énergie mécanique » | Le calcul : proportion de hauteur ＝ e au carré |
| Lycée+ | Mathématiques : « série géométrique infinie » | Le temps avant l'arrêt est fini |
| Univ. | Résistance des matériaux, physique des polymères : « viscoélasticité », « hystérésis » | Comment la chaleur naît dans le caoutchouc |
| Recherche | Mécanique du contact, physique des poudres | Dépendance de e à la vitesse, effondrement inélastique |
| ― | Liens avec la vie quotidienne | Contrôle des balles de sport, habitude de réchauffer la balle de squash |
- Fédération internationale de tennis de table (ITTF), règlement de compétition et documents techniques (norme des balles : rebond après une chute de 30,5 cm)
- Fédération internationale de tennis (ITF), annexe des règles du tennis (norme des balles : rebond de 135 à 147 cm après une chute de 254 cm)
- Cross, R. "The bounce of a ball", American Journal of Physics 67, 222 (1999)
- Manuel de lycée japonais « 物理基礎 » (physique de base), chapitres sur le coefficient de restitution et la conservation de l'énergie mécanique
※ Cet article est une explication scientifique grand public. Les valeurs indiquées sont des ordres de grandeur et des estimations pour comprendre le mécanisme. Le rebond d'une balle varie beaucoup selon le matériau, la température et la dureté du sol.