球為什麼每次彈起都變低？
― 不是消失了，而是一點一點變成熱和聲音
掉落的球，第2次彈起會比第1次低，第3次又更低。看起來力量好像在某處「消失」了，但其實並沒有消失。球在地板上壓扁又恢復原形的那一瞬間，就會把一部分的運動轉換成熱和聲音釋放出去。而且每次釋放的，都是「相同的比例」。
小孩把彈力球丟到地上。碰、碰、碰、咚、咚咚咚咚……。每次彈起都變低，聲音的間隔也愈來愈短，最後像在地上發抖一樣停下來。
「咦，為什麼會愈彈愈低？一直維持同樣的高度彈不是很好嗎？」被這麼一問，很容易脫口回答「因為力量用完了」。
但那個「力量」到底去了哪裡呢？用手摸摸球，也看不出什麼東西減少了。答案就藏在彈起的那一瞬間。
變低的理由，只有兩個
撞到地板的球會瞬間壓扁，再靠著恢復原形的勢頭彈起來。然而，恢復時彈回的勢頭，會比壓扁時稍微小一點。這個差額,就會在球內部變成熱。
「碰」的聲音，正是讓空氣震動所做的功的證據。地板也會微微震動。這些都是從球的運動裡被分走的一部分。
這兩者都只是把球的運動轉換成了別的形式，總量並沒有減少。這就是理科所說的「能量守恆」。只不過，變成熱和聲音的那部分，已經沒辦法再用來把球抬高了。
每次都只減少「相同的比例」
彈跳的球有一個神奇的規律。重要的不是減少了幾公分，而是減少到幾成，這個比例每次都差不多相同。把桌球丟到堅硬的台面上，彈起的高度大約是掉落高度的四分之三。從1公尺高丟下，第一次彈到75公分，接著是56公分，再接著是42公分，以乘法的方式愈變愈小。
高度變低之後，在空中的時間也會變短。所以才會聽到「碰、碰、咚咚咚咚」這樣愈來愈密集的聲音間隔。請用圖1下方的滑桿，試著改變彈起的比例。
神奇的地方在於，理論上彈跳次數是無限的,但停止所需的時間卻是有限的。因為山形的寬度會愈縮愈小，全部加起來幾秒鐘就結束了。實際上到了最後，已經分不出是在彈跳還是在發抖。
失去的部分，會在球內部變成熱
橡膠球壓扁的時候，內部的長鏈橡膠分子會一邊摩擦一邊伸縮。這就像搓手會發熱一樣，摩擦會產生熱。請看圖2。在壓扁和恢復的過程中，就會因為這種摩擦而損失一部分的勢頭。
變成熱的量其實很少,摸起來感覺不到溫度上升。不過,彈跳次數一多,這個損失就會慢慢累積起來。這種損失愈少的材質,彈得愈高。彈力球之所以彈得好,就是因為它是用壓扁時內部摩擦較少的橡膠做成的。
壁球在冰冷的狀態下幾乎彈不起來。選手會在比賽前不斷把球打向牆壁,讓球變熱。橡膠的硬度和摩擦方式會隨溫度改變,變熱之後彈性會變好。也就是說,選手反過來利用了每次彈跳時產生的熱。
桌球和網球的正式用球,都訂有從固定高度落下時應彈起多高的標準。因為彈跳方式參差不齊就無法比賽。下面的折疊區塊,會用這些標準數值來做計算。
總結
球每次彈起都會變低,是因為壓扁再恢復原形的那一瞬間,一部分的運動轉換成了熱和聲音。因為每次損失的比例幾乎相同,所以高度以乘法方式減少,聲音的間隔也會愈來愈密集。能量並沒有消失,只是換了形式,散到地板和周圍的空氣裡而已。
球每次彈跳,都在一點一點地支付熱的代價。
愈變愈低的高度,正是那份支付的記錄。
關於運動轉換成熱的話題,也可以參考搓手為什麼會變暖？,或是瀑布下方的水,會比落下前更溫暖嗎？。石頭在水面上彈跳的話題,請見石頭為什麼能在水面上連續彈跳好幾次？。
- 在牆上貼捲尺,把球從1公尺高處輕輕放下。用智慧型手機從側面拍影片,會更容易讀出彈起的高度。
- 讀出第1次和第2次的高度,比較「第1次高度÷1公尺」與「第2次高度÷第1次高度」。應該會得到差不多相同的比例。
- 換成彈力球、網球、乒乓球等不同種類來比較。也可以比較放進冰箱冷藏過的球,和用手搓熱的球。
如果地板是柔軟的榻榻米或地毯,地板本身會吸收熱量,導致不管哪種球都彈不太起來。請在堅硬的地板上比較。訣竅是輕輕放手,不要用力丟。
想了解更多 ― 用語、數學式與教科書的對應從國中理科到大學的專業科目,都會清楚標示屬於哪個程度的內容
- 國中國中理科會學到的範圍
- 高中高中「物理基礎」「物理」會學到的範圍
- 高中＋高中的進階內容,或教科書專欄介紹的內容
- 大學高中不會教、屬於大學專業科目(力學、材料力學、高分子物理)的內容
- 研究即使在大學也不會當作「定論」教授,目前研究者仍在調查中的內容
國中用語:這個現象是有名稱的
- 力學能:由高度決定的能量(位能)與由速度決定的能量(動能)的總和。球在空中的時候,這個總量會幾乎保持不變。
- 能量守恆:能量即使改變形式,總量也不會增加或減少的規律。每次彈跳看起來變少,其實是因為轉換成了熱和聲音。
- 反彈係數(恢復係數):碰撞後瞬間的速度,相對於碰撞前瞬間速度的比例。等於1代表勢頭全部彈回,等於0代表完全不會彈起。
國中高中用數學式驗證:每次彈跳,高度會減少多少
利用桌球和網球正式比賽用球的標準數值,計算彈起高度與停止所需的時間。
| 用符號表示 | hn ＝ h0 × e2n(反彈係數 e ＝ √( h1 ÷ h0 )) |
| 用文字表示 | 第n次彈起的高度 ＝ 落下高度 × (反彈係數的平方)連乘n次 |
| 公式的來源 | 在空中時力學能守恆,所以高度與速度的平方成正比。每當撞到地板後速度變成e倍,高度就會變成e的平方倍 |
| 符號 | 意義與單位 |
|---|---|
| h0 | 落下高度(cm) |
| hn | 第n次彈起的高度(cm) |
| e | 反彈係數(無單位,介於0到1之間) |
| t0 | 最初落到地板所需的時間(秒) |
| 桌球:落下高度(國際規則標準) | 30.5 cm |
| 桌球:彈起高度的標準值 | 約 23 cm |
| 網球:落下高度(國際規則標準) | 254 cm |
| 網球:彈起高度標準的中間值 | 約 141 cm(135〜147 cm) |
| 從1 m高處落下所需的時間 | 約 0.45 秒 |
| 桌球:彈起高度的比例(e的平方) | 23 ÷ 30.5 ≒ 0.75 |
| 從1 m落下後第1次彈起的高度 | 100 × 0.75 ＝ 75 cm |
| 第2次高度 | 75 × 0.75 ≒ 56 cm |
| 第3次高度 | 56 × 0.75 ＝ 42 cm |
| 網球:彈起高度的比例 | 141 ÷ 254 ≒ 0.56 |
| 網球每次彈跳損失的比例 | 1 − 0.56 ＝ 0.44 |
也就是說,桌球每彈跳一次就會以熱或聲音的形式釋放約四分之一的力學能,網球則超過四成。
| 停止所需時間的公式(把山形的寬度當作等比級數相加的結果) | T ＝ t0 × (1 ＋ e) ÷ (1 − e) |
| 0.75的平方根(反彈係數e) | 約為 0.866 |
| 分子 | 1 ＋ 0.866 ＝ 1.866 |
| 分母 | 1 − 0.866 ＝ 0.134 |
| 分子除以分母 | 1.866 ÷ 0.134 ≒ 13.9 |
| 停止所需的時間 | 0.45 × 13.9 ≒ 6.3 秒 |
彈跳次數理論上可以無限持續下去,但時間的總和卻會收斂在約6秒左右。這和圖1右上方的數字相同。實際上還會受到空氣阻力,以及緩慢碰撞時彈跳方式變化的影響,請當作參考值看待。
高中高中＋反彈係數與損失的能量
高中物理基礎課程中,會學到與地板的反彈係數定義為「碰撞後速度 ÷ 碰撞前速度」。因為動能與速度的平方成正比,所以一次碰撞後保留的能量比例就是e的平方。這恰好與彈起高度的比例一致。
高中＋停止所需的時間,是山形寬度以固定比例e縮小所形成的等比數列。因此即使加總無限多項,結果仍會收斂成有限值。這正是數學中無窮等比級數求和公式的應用。
大學黏彈性與遲滯損耗
橡膠是兼具彈簧般彈性與蜂蜜般黏性的黏彈性材料。壓縮時的力曲線與恢復時的力曲線並不一致,兩者之間的面積就是以熱的形式損失的遲滯損耗。接觸瞬間的形變可以用赫茲接觸理論來估算。已知反彈係數會隨碰撞速度與溫度而變化。
📖 公式推導與更深入的內容:反彈係數(日文維基百科) ／ 力學能守恆定律(日文維基百科)
研究目前還不清楚的事
- 反彈係數如何隨速度變化。反彈係數並非固定不變,一般認為碰撞速度愈快,反彈係數會愈小。要從分子運動的角度預測各種材質的細微變化方式,至今仍是困難的課題。
- 最後「發抖」的真正原因。當彈跳高度變得非常小時,球與地板的振動以及空氣層的影響就無法忽略。彈跳究竟在哪個時刻停止,並不是用簡單公式就能決定的。
- 大量顆粒互相碰撞的情形。像沙粒這樣的集合體,會反覆發生逐漸失去勢頭的碰撞,導致顆粒突然聚集成塊。這種「非彈性崩塌」現象,是粉體物理學的研究主題。
換句話說,本文的內容也只是「目前已知範圍內的說明」。每次以相同比例減少的規律,也請當作一個良好的近似來理解。
與教科書的對應(依程度分類)
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文的哪個部分 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科「力學能」「能量的轉換」 | 運動轉換成熱和聲音的說明 |
| 高中 | 物理基礎「反彈係數」「力學能」 | 高度比例＝e的平方的計算 |
| 高中＋ | 數學「無窮等比級數」 | 停止所需時間收斂為有限值 |
| 大學 | 材料力學・高分子物理「黏彈性」「遲滯損耗」 | 橡膠內部產生熱的機制 |
| 研究 | 接觸力學・粉體物理 | 反彈係數的速度依賴性、非彈性崩塌 |
| ― | 與生活的關聯 | 運動用球的檢驗、壁球選手把球弄熱的習慣 |
- 國際桌球聯盟(ITTF)《競賽規則》及技術資料(球的規格:從30.5 cm落下時的彈起高度)
- 國際網球總會(ITF)《網球規則》附則(球的規格:從254 cm落下時彈起135〜147 cm)
- Cross, R. "The bounce of a ball", American Journal of Physics 67, 222 (1999)
- 高中「物理基礎」教科書(反彈係數、力學能守恆單元)
※本文為一般大眾取向的科學解說。文中數值為方便理解原理所做的估算與概算。球的彈跳方式,會因材質、溫度、地板硬度而有很大差異。