蜂巢為什麼
是六角形？
看蜜蜂巢的照片,會發現一模一樣的六角形小房間,像用尺畫出來一樣密密麻麻排列著。不是圓形、三角形也不是四角形,為什麼偏偏是六角形?其中藏著「用最少材料換取最大空間」這個數學上的答案。而且,其實還有一個意外的爭論一直持續著:「蜜蜂真的是在做六角形嗎?」
養蜂場的照片,或是樹枝上築起的蜂巢。板狀的巢表面上,數千個六角形小房間幾乎毫無誤差地緊密排列著。房間壁厚約0.1mm,比紙還薄,巢卻要撐起自身重量數十倍的蜂蜜和幼蟲。
其實這個形狀,人類也大量使用。瓦楞紙的斷面、飛機的地板材料、人造衛星的面板。「蜂巢結構」（英語稱 honeycomb）這個名字,已經成了輕巧又堅固結構的代名詞。
那麼,為什麼是六角形呢?圓形不行嗎?
答案分兩步
用同一種正多邊形無縫填滿平面,只有正三角形、正方形、正六角形這3種。如果排的是圓形,一定會出現空隙。
要蓋出同樣大小的房間,圍牆最短的就是六角形。對蜜蜂來說,牆壁材料(蜂蠟)非常昂貴,這個差距關係到生死存亡。
換句話說,六角形是同時滿足「無縫隙」與「材料最少」的唯一答案。我們一個一個來看。
圓形為什麼不行,六角形又贏在哪裡
作為房間的形狀,能用最少牆壁換取最大空間的,其實是圓形。數學上已經證明,要圍出同樣的面積,周長最短的圖形就是圓形。
然而,把許多圓形排在一起,圓與圓之間一定會出現三角形的空隙。空隙是蜂蜜和幼蟲都放不進去的無用空間,而且還得多花材料去圍出那些空隙的牆壁。如果要蓋成集合住宅,就必須是能無縫鋪滿的形狀。
能無縫鋪滿平面的正多邊形,只有正三角形、正方形、正六角形這3種。而在這3種之中,同樣面積下牆壁最短的,就是最接近圓形的形狀──正六角形(具體數字的比較,會在最後的折疊區塊計算)。而且集合住宅還能與相鄰房間共用牆壁,每個房間所需的牆壁材料會更少。
巢的材料蜂蠟,是蜜蜂用體內的蜜製造出來的物質。據估計,製造1克蠟需要約8克蜜。蜜是飛出去辛苦採集來的珍貴食物,牆壁只要能縮短1公分,就能省下相應的食物。六角形的「材料最少」不是裝飾,而是直接關係到生存的節約。
然而──「蜜蜂並非在做六角形」的說法
看到這裡,蜜蜂似乎是幾何學的天才。然而近年來,出現了意外的觀察報告。剛蓋好的房間並非六角形,而是接近圓形。
根據這項觀察,有人提出了這樣的假說:蜜蜂只是以自己的身體為軸,像挖圓筒一樣去做。當圓形房間緊密排列,被蜜蜂體溫加熱而變軟的蜂蠟,相鄰的牆壁會因表面張力互相拉扯,自然變成平坦的牆壁。這和肥皂泡沫黏在一起時,交界處會變成平面是同樣的物理現象。只要把圓形密集排列、讓牆壁變軟,幾何學就會自動完成六角形——就是這個道理。
另一方面,也有實驗顯示蜜蜂會用觸角測量牆壁的厚度和角度,主動地調整形狀。「交給物理」還是「蜜蜂的技術」,兩者的比重究竟如何,至今研究者之間仍在爭論。目前較有力的看法是,兩者可能是共同作用的結果。
總結
蜂巢之所以是六角形,是因為①能無縫鋪滿平面的形狀只有3種,②在這3種之中牆壁材料最少的就是六角形。而這個六角形,與其說是蜜蜂知道設計圖,不如說可能是「蓋成圓形」的本能與軟蠟的物理現象共同作用的結果——這正是目前研究的最前線。
六角形並不是蜜蜂發明的形狀。
它是「無浪費地鋪滿」這個問題,在宇宙間共通的答案。
同樣是六角形,雪的結晶之所以是六角形,則出自完全不同的原因(水分子的連結方式)。歡迎對照閱讀:雪的結晶為什麼是六角形?
- 把吸管(或鉛筆)綁成一束,約7〜20支,用橡皮筋鬆鬆地固定住
- 慢慢把橡皮筋勒緊,從上方觀察這束吸管的斷面
- 觀察中央附近的吸管,因為互相擠壓而漸漸排成接近六角形的樣子
把圓形的東西無縫塞在一起時,每一根周圍恰好會有6根緊靠著它,自然而然形成六角形的排列。蜂巢「圓形→六角形」的假說,可以用手邊的東西重現同樣的幾何原理。
想知道更多的人 ― 術語・公式・與教科書的連結從國中理科到大學專業科目,清楚標示這是哪個程度的內容
- 國中國中理科、數學範圍內
- 高中高中「數學」「物理基礎」「生物」範圍內
- 高中＋高中的進階內容,或教科書專欄等級的內容
- 大學高中不會教,屬於大學專業科目(幾何學・界面科學)的內容
- 研究連大學都還沒當作「定論」教授,是研究者目前正在調查中的內容
國中術語:這個現象是有名字的
- 蜂巢結構:六角形鋪滿排列的結構總稱。因為兼具輕巧與堅固,廣泛用於飛機地板材料、人造衛星、瓦楞紙等。
- 平面鋪滿(平面充填):用圖形無縫填滿平面。也稱為鑲嵌(tessellation)、鋪磚。
- 蜂蠟:蜜蜂從腹部腺體分泌出的蠟。是蜂巢的建材。
- 等周問題:「圍出同樣面積,最短的邊界是什麼形狀?」這一類的數學問題。單一房間的答案是圓形,若要無縫排列則答案變成六角形。
國中高中用公式確認:實際比較牆壁長度
比較用正三角形、正方形、正六角形蓋出面積恰好1cm²的房間時,周長(牆壁長度)分別是多少。各自的周長可用幾何公式求出,已知結果如下。
| 用符號寫 | A ＝ (3√3 ÷ 2) × a²、 P ＝ 6 × a 可得 P ＝ √( 8√3 × A ) |
| 用文字寫 | 正六角形的周長 ＝ 「8 × √3 × 面積」的平方根 |
| 公式從何而來 | 正六角形由6個正三角形組成,所以面積與一邊長的平方成正比。把面積公式對一邊求解,代入周長(一邊的6倍)就得出此式。同理,正方形是 P ＝ √(16 × A),正三角形是 P ＝ √(12√3 × A) |
| 符號 | 意義與單位 |
| A | 單一房間的面積(cm²) |
| a | 一邊的長度(cm) |
| P | 房間的周長＝牆壁長度(cm) |
| 正三角形 | 約4.56 cm |
| 正方形 | 4.00 cm(1邊1cm × 4邊) |
| 正六角形 | 約3.72 cm |
| (參考)圓形 | 約3.54 cm ― 但因會有空隙而不合格 |
| 正六角形:8√3 × 面積(√3 ≒ 1.732,面積1cm²) | 8 × 1.732 ≒ 13.86 |
| 取其平方根即為周長 | 13.86的平方根約為 3.72(cm) |
| 正三角形:12√3 × 面積 | 12 × 1.732 ≒ 20.78 |
| 取其平方根即為周長 | 20.78的平方根約為 4.56(cm) |
| 六角形比四角形短多少 | 4.00 － 3.72 ＝ 0.28(cm) |
| 六角形比三角形短多少 | 4.56 － 3.72 ＝ 0.84(cm) |
| 以1萬個房間計算(與四角形的差距) | 0.28 × 10000 ＝ 2800(cm)＝ 28 m |
實際的蜜蜂巢有數萬個房間。比起蓋成四角形,若是六角形,計算下來可以節省數十公尺份的蜂蠟。考慮到1克蠟需要8克蜜,這個差距對蜂群的食物來說是很大的節約。而且實際的蜂巢還會與相鄰房間共用牆壁,節約效果會更大。
高中高中＋「六角形最優」其實直到1999年才被證明
「要用同樣面積的房間鋪滿平面,邊界總長最短的方式是正六角形鋪滿」――這個主張被稱為蜂巢猜想(Honeycomb Conjecture),自古希臘時代起就被認為是正確的。然而,若允許房間的形狀是自由的曲線,完整的證明相當困難,數學家托馬斯・黑爾斯(Thomas Hales)發表證明是在1999年。一件被視為「理所當然」超過2000年的事,證明其實是最近才完成的。
大學泡沫的物理學:120度法則
肥皂泡沫大量聚集時,交界處的薄膜會依照固定規則相遇。薄膜必定是3片一組,彼此以120度角相遇――這是19世紀物理學家普拉托(Plateau)發現的法則,是表面張力試圖將能量(＝膜的面積)降到最小的結果。正六角形鋪滿排列的角,恰好也是3條牆壁以120度相遇的形狀。「軟化的蜂蠟牆壁因表面張力互相拉扯而變成六角形」這個假說,正是試圖用這種泡沫的物理學(界面科學)語言來解釋蜂巢。
📖 公式推導與更深入的內容:普拉托法則(維基百科)
研究尚未完全清楚的部分
蜂巢雖然很常見,但「究竟是怎麼蓋出來的」這個核心問題仍有未解之處。
- 「交給物理」與「蜜蜂的技術」各佔多少比重尚不清楚。 剛蓋好的房間接近圓形這項觀察,支持「蠟一變軟,表面張力就會自動完成六角形」這個說法。但另一方面,也有證據顯示蜜蜂會用觸角檢查牆壁,一邊調整溫度和厚度一邊建造,兩者的貢獻程度據稱仍有爭論。
- 不同尺寸房間之間的「接縫」是如何解決的。 工蜂用和雄蜂用的房間大小不同,據報告指出,交界處會夾入五角形或七角形的房間來做調整。蜜蜂如何判斷這種不規則的調整,作為群體建築的決策問題,研究仍在持續進行中。
- 巢的縱深方向的形狀最佳化其實並不完美。 房間底部是由3片菱形組成的立體形狀,但數學上已知存在比這略微更有效率的底部形狀。演化為何沒有走到那個形狀(是受到某種限制,還是差距太小以致天擇不起作用),至今仍是懸而未解的問題。
也就是說,這篇文章的內容也是「目前所知範圍內的說明」。在六角形這個看似完美的答案背後,藏著生物與物理如何分工的現在進行式問題。
與教科書的連結(依程度分類)
| 程度 | 科目・單元 | 對應本文哪個部分 |
|---|---|---|
| 國中 | 數學・平面圖形／理科・生物觀察 | 能鋪滿平面的正多邊形只有3種、圖1 |
| 高中 | 數學・圖形與計量,生物・動物的行為 | 周長比較計算、蜂蠟成本的討論 |
| 高中＋ | 數學專欄話題(等周問題) | 蜂巢猜想與1999年的證明 |
| 大學 | 幾何學・界面科學(表面張力) | 普拉托法則、作為泡沫物理學的築巢 |
| 研究 | 行為生態學・數理生物學(未解決) | 物理與行為的分工、房間大小的調整、底部形狀的最佳性 |
| ― | 身邊的連結 | 瓦楞紙・航空材料的蜂巢結構、吸管束的觀察 |
- Hales, T. C., The Honeycomb Conjecture, Discrete & Computational Geometry 25, 1–22, 2001(蜂巢猜想的證明)。
- Karihaloo, B. L., Zhang, K. & Wang, J., Honeybee combs: how the circular cells transform into rounded hexagons, Journal of the Royal Society Interface 10, 2013(剛蓋好的圓形房間轉變為六角形的觀察與表面張力說)。
- Nazzi, F., The hexagonal shape of the honeycomb cells depends on the construction behavior of bees, Scientific Reports 6, 2016(重視蜜蜂主動建造行為立場的反駁)。
- Smith, M. L. et al., Imperfect comb construction reveals the architectural abilities of honeybees, PNAS 118(31), 2021(房間大小接縫處以五角形、七角形調整的觀察)。
- Tóth, L. F., What the bees know and what they do not know, Bulletin of the AMS 70, 1964(指出巢的底部形狀並非數學上最佳解)。
※本文為大眾科學解說。文中數值僅為理解原理所用的參考概算。若在野外發現蜂巢,請勿靠近或刺激它,如需清除請洽詢地方政府或專業業者。